OliForum Matematico

Siano $ a,b,c $ i soliti reali positivi.

Si dimostri che

$ \displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geq 1 $

P.S. Io l'ho trovata sulla dispensa di Hojoo Lee ed è risolta in molti modi... quindi sbizzarritevi.. la mia soluzione però non l'ho trovata sulla dispensa quindi ho una domanda da porre per garantirmi che sia giusta.. ringrazio chiunque mi risponderà.Posto in piccolo...

In questo caso, per l'omogneità della disequazione nelle tre variabili posso porre a+b+c=1? più in generale quando questo passaggio è lecito?

Poiché la disuguaglianza é omogenea, posso porre $ abc=1 $. Inoltre posso trovare $ x,y,z $ reali tali che $ 2^x=a, 2^y=b, 2^z=c $. Allora la disuguaglianza si puó riscrivere come
$ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+2^{3-2x}}} + \frac{1}{\sqrt{1+2^{3-2y}}} + \frac{1}{\sqrt{1+2^{3-2z}}} \ge 1 $
con $ x+y+z=0 $.
Calcolandone la derivata si vede immediatamente che la funzione
$ \displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+2^{3-2x}}} $
é convessa, da cui per Jensen
$ \displaystyle 1/3 \left(\frac{1}{\sqrt{1+2^{3-2x}}} + \frac{1}{\sqrt{1+2^{3-2y}}} + \frac{1}{\sqrt{1+2^{3-2z}}} \right) \ge $$ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+2^{3-2(x+y+z)/3}}}=1/3 $
CVD

PS Ovviamente la risposta alla tua domanda é sí

@Sisifo:
Manca un /3 verso la fine, se non vedo male. Per il resto ok.

Su un vecchio testo ho trovato questa soluzione:
Sia k>0 tale che $ \displaystyle \frac {a}{\sqrt {a^2+8bc}}>= \frac {a^k}{a^k+b^k+c^k} $ da cui si ottiene che $ (a^k+b^k+c^k)^2>=a^{2k-2}(a^2+8bc) $ quindi $ (a^k+b^k+c^k)^2-a^{2k}>=8a^{2k-2}bc $ per cui $ (a^k+b^k+c^k)^2-a^{2k}=(b^k+c^k)(2a^k+b^k+c^k)>=8a^{k/2}b^{3k/4}c^{3k/4} $ per la disuguaglianza AM-GM. Una buona scelta per $ k $ risulta quindi $ 4/3 $ da cui con qualche passaggio opportuno si giunge al risultato cercato.
Purtroppo tali passaggi sono omessi, in quanto presentati come ovvi.
ps: >= sta per "maggiore o uguale"

Scusate, so che non c'entra niente, ma potete spiegarmi perchè si può porre abc=1