OliForum Matematico

spero che nessuno l'abbia già postata...
Si dimostri che per ogni $ a,b,c,d>0 $ tali che $ a+b+c+d=1 $vale la seguente disuguaglianza:
$ \displaystyle\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}+\sqrt{4d+1}<6 $.
ciao ciao

In bianco perchè è proprio semplice...


Cauchy-Schwarz su (1,1,1,1) e sulle radici, ci dà LHS^2<=(4)(4+4a+4b+4c+4d)
LHS<=4*sqrt(2) < 6

Ciao!

Visto che ci si sta sbizzarrendo perché non chiamare in causa anche l'amico Jensen??
Data la funzione $ \displaystyle f(x)=\sqrt x $, siano ora

$ w=4a+1, x=4b+1, y=4c+1, z=4d+1 $. Poiche $ f(x) $ è concava, vale

$ \displaystyle f(w)+f(x)+f(y)+f(z)\leq 4f(\frac{w+x+y+z}{4})=4\sqrt 2<6 $

io direi semplicemente che essendo tutti maggiori di 0 e dando come somma 1 a,b,c,d in media sono 1/4 che è anche il valore che ti da le soluzioni maggiori in somma. quindi andando a sostituire 1/4 si ottiene $ 4\sqrt2 $ che è minore di 6

come minimo alcune affermazioni così forti andrebbero dimostrate non credi??

Ciao a tutti!!!
Scusate se rispondo a questo post un pò vecchiotto...
Ma ho trovato la soluzione e volevo postarla.
SAppiate che non conosco l'analisi e di matematica so poco e niente quindi potreste trovare la mia soluzione banale, maccheronica, stupida e persino sbagliata...accetto critiche e consigli

allora partendo dal fatto che

$ n>\sqrt{n} $
$ m>\sqrt{m} $
$ m+n>\sqrt{m}+\sqrt{n} $

sviluppiamo il problema

$ \sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}+\sqrt{4d+1}<6 $
$ \sqrt{a+\frac{1}{4}}+\sqrt{b+\frac{1}{4}}+\sqrt{c+\frac{1}{4}}+\sqrt{d+\frac{1}{4}}<3 $

ora partiamo da

$ a+b+c+d=1 $

sommiamo ad ambo i membri quattro volte 1/4

$ (a+\frac{1}{4})+(b+\frac{1}{4})+(b+\frac{1}{4})+(d+\frac{1}{4})=2 $

bè a me sembra che non debba aggiungere altro

Perplessità: $ m>\sqrt m $ solo per $ m>1 $

sono molto perplesso anch'io!!!

Crolla tutto!!!