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Il quadrilatero 4 - La resurrezione
Inviato: 25 ott 2006, 15:40
da Piera
Un quadrilatero ABCD è inscritto in un cerchio. Se P, Q, R e S sono gli ortocentri ordinatamente dei triangoli ABC, BCD, CDA e DAB, dimostrare che il quadrilatero PQRS è congruente con ABCD.
Inviato: 26 ott 2006, 14:21
da edriv
Disegno:
Hint agli stagisti: provate coi vettori.
Mettendo l'origine nel circocentro,abbiamo che i vari ortocentri sono a+b+c,b+c+d,c+d+a,d+a+b. Allora, ad esempio, il lato H_{ABC}H_{BCD} = b+c+d-a-b-c = d-a = AD, quindi è congruente e parallelo (e con lo stesso verso). Quindi i lati sono uguali, gli angoli anche, e volendo anche le diagonali...in particolare i due quadrilateri si ottengono con una simmetria rispetto al baricentro di ABCD.