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semmai è il contrario...comunque vai risolvimi questo semplice quisito sulla figura nella mia firma:
detto P un punto generico dato dall'intersezione tra l'icosaedro e uno spigolo AB dell'ottaedro, dimmi i rapporti tra AB, AP e BP

p.s. ti mando un messaggio privato per il link

E' il rapporto aureo, interessante.
Benvenuti a tutti!

Grazie per averlo risolto, come avrai capito la geometria è il mio punto debole.
Sto attualmente studiando vari libri per migliorarmi, ma la parte solida non la sopporto proprio! W la teoria dei numeri, perlomeno ci capisco qualcosa di piu'

Il disegnino nella firma di Gabriel aiuta moltissimo! Non servono nemmeno conti, io l'ho fatto a mente solo guardando il disegno..

MMM...la sezione aurea? ma sei sicuro che è così semplice? a me vengono calcoli molto più complessi.

ma la sezione aurea e' $ \displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{2} $ o $ \displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2} $?
trovo costantemente fonti contraddittorie

ma P sarebbe il vertive dell'icosaedro che giace sullo spigolo dell'ottaedro?

Sulle schede olimpiche di Gobbino c'è scritto $ \displaystyle \frac {\sqrt{5}-1}{2} $ quindi credo che sia cosi'.$ P $ dovrebbe essere l'intersezione tra il lato dell'ottaedro e l'icosaedro, comunque ti conviene chiedere a gabriel (quello dall'username impronunciabile, via!): lui lo sa sicuramente meglio di me

dipende, la sezione aurea sarebbe
Perchè se noi prndiamo ad esempio un segmento aureo AC di lunghezza 1 diviso in due parti da un punto B in modo da formare la sezione aurea avrai che:

BC: AB=AB: AC


possiamo calcolare la misura dei due tratti AB e BC:

AB + BC= 1 e BC = AB*AB/AC

Quindi: BC = 1-AB e 1 - AB= AB2/1

che si risolve come equazione di secondo grado:

AB2 + AB -1= 0 AB= [-1 ±RADQ (1+4 )]/2

e si ottiene: AB=


una parte del segmento misura e l'altra 1 - . Facendo il rapporto fra queste due misure di ottiene

quindi dipende tutto da che tipo di rapporto si considera.

¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾ ha scritto:MMM...la sezione aurea? ma sei sicuro che è così semplice? a me vengono calcoli molto più complessi.

effettivamente l'unico calcolo rilevante e' l'uso della legge del coseno dopo un paio di ragionamenti

Mmmmhhh... legge del coseno?

Io l'ho fatto con la tavola di salvezza dei segoni in geometria: geometria analitica!!

Siano O, A, B, C vertici dell'otta, in modo tale che OAB e OAC siano facce. Siano A', B', C' vertici dell'icosa appartenenti a OA, OB, OC rispettivamente. Inoltre incastriamo l'icosa in modo che risulti

$ $ \lambda = \frac{OA'}{OA} = \frac{OB'}{OB} = \frac{CC'}{OC} $

[se così non è, vuol dire che ho scelto l'incastro nel modo sbagliato. Basta ruotare l'icosa e sono a posto]

Mettiamo giù origine e assi in modo che
$ O = (0,0,1); A = (1,0,0); B = (-1,0,0); C = (0,1,0) $

Con un conticino si dimostra che
$ A' = (\lambda,0,1-\lambda); B' = (-\lambda,0,1-\lambda); C = (0,1-\lambda,\lambda) $

Calcolo $ A'B'^2 $ e $ A'C'^2 $. Questi sono spigoli del dodeca, quindi sono uguali.

Uguagliando salta fuori un polinomio di secondo grado. Una soluzione è maggiore di 1 e non va bene, perché altrimenti A' cadrebbe fuori dal segmento OA. L'altra soluzione è
$ $ \frac{3-\sqrt 5}{2} = \phi^2 $,
dove $ \phi $ è il solito rapporto aureo [per me, come per gli altri, è quello col -].

Il rapporto richiesto risulta quindi
$ $ \frac{\phi^2}{1-\phi^2} = \phi $. []

Mi postate le vostre? Grz. M.

P.S.: per un interessante corollario, click!

Considero una delle faccie dell'ottaedro (che considero con spigolo di lunghezza unitaria) e chiamo A il vetice superiore, B e C i vertici dell'icosaedro che giacciono sui due spigoli che partono da A tali che AB>AC. Definisco $ ~l $la lunghezza dello spigolo dell'icosaedro.
Si vede che $ ~AC=1-AB $, che $ ~l=\sqrt{2}AC=\sqrt{2}(1-AB) $ e che l'angolo $ ~\widehat{BAC}=\frac{\pi}{3} $ e ovviamente $ ~BC=l $.
quindi
$ \displaystyle AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cos{\frac{\pi}{3}}=BC^2 $
$ \displaystyle AB^2+(1-AB)^2-AB(1-AB)=2(1-AB)^2 $
$ \displaystyle AB^2-AB(1-AB)-(1-AB)^2=0 $
$ \displaystyle AB^2+AB-1=0 $
$ \displaystyle AB+1=\frac{1}{AB} $
quindi sezione aurea

Io ho semplicemento uguagliato le altezze dell'ottaedro e dell'icosaedro (per altezze intendo la distanza tra due facce parallele e opposte), così facendo trovo i rapporti tra i due leti. Una volata che so i rapporti è finito perche se che ci sono due triangoli equilateri con lo stesso centro uno iscritto nell'altro, e sapendo i rapporti tra i due lati trivo anche quello fra AP e BP con pitagora.


l'altezza dell'icosaedro è: $ \displaystyle H = \frac{l_1} 2 {\frac{3 + \sqrt {5}} \sqrt3} $ mentre quella dell'ottaedro è: $ \displaystyle H = \frac{\sqrt 2} \sqrt 3 $

uguagliandole si ottiene il rapporto fra i lati:

$ \displaystyle \frac{l_2} l_1 = \frac{3 + \sqrt {5}} {2 \sqrt {2}} $


ora lavoro sualla faccia a triangolo equilatero, so che il lato della faccia dell'ottaedro è $ \displaystyle \frac{3 + \sqrt {5}} {2 \sqrt {2}} $ volte quello dell'icosaedro.
Siccome questi due triangoli sono uno iscritto nell'altro, essi hanno lo stesso centro e quindi applicando pitagora col triangolo rettangolo di ipotenusa 1/3 dell'altezza della faccia dell'ottaedro e cateto 2/3 dell'altezza della faccia dell'icosa trovo la lunghezza di MP da cui ricavo AP e BP (M è il punto medio di AB)

Ragazzi, vi assicuro che vi state ammazzando di conti inutilmente...

Fatto noto: il rapporto tra diagonale e lato di un pentagono regolare è aureo (dimostrazione sintetica reperibile su qualunque libro di biennio scientifico).

Consideriamo un vertice V dell'ottaedro, e siano A, B, C, D i vertici dell'icosaedro che appartengono agli spigoli dell'ottaedro uscenti da V, in modo che VA=VC, VB=VD e VB>VA.

Chiaramente AC è il lato di un pentagono regolare e BD è la sua diagonale, perciò BD/AC è aureo.

Ma i triangoli VAC e VBD sono rettangoli isosceli (l'ottaedro è regolare!) quindi simili, e quindi anche VB/VA è aureo.

certo è ovvio, direi che è la via più semplice

SkZ ha scritto:ma la sezione aurea e' $ \displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{2} $ o $ \displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2} $?
trovo costantemente fonti contraddittorie

È la stessa cosa: dipende da in che verso consideri il rapporto: $ \displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{2} $ e $ \displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2} $ sono uno l'inverso dell'altro.