In un triangolo ABC, <B = 90°, BD è l'altezza, O è l'incentro, r è l'inraggio, BE è la bisettrice dell'angolo ABD, BF è la bisettrice dell'angolo DBC. G e H sono i punti di incontro delle rette FO e EO con AB e BC, rispettivamente.
Dimostrare che:
1) EF = 2r
2) O è il circocentro di BEF
3) OG = OH
4) EG = FH
Triangolo rettangolo, altezza, incentro e bisettrici
Disegno:
Soluzione imbiancata:
Indico con A,B,C le semiampiezze degli ancoli CAB, ABC, BCA.
Calcoliamo ^OBE = 45 - ^EBA = 45 - (90 - ^A)/2 = ^A = ^OAE, quindi OBAE è ciclico.
Allo stesso modo anche OBCF è ciclico.
Quindi ^BEO = ^BAO = ^EAO = ^EBO, cioè EOB è isoscele e EO = BO. Allo stesso modo FO=BO, quindi O è il circocentro di EFB.
^FEO = 180 - ^AEO = ^ABO = 45. Anche ^EFO è 45. Quindi EFO è isoscele e rettangolo e OE = OF. Quindi anche l'altezza di EOF rispetto ad EF è meta del lato, ma questa altezza è anche r, quindi EF = 2r.
^HOG = 90, ma anche ^HBG = 90, quindi BGOH è ciclico. Da cui ^GHO = ^GBO = 45, e anche ^HGO = 45, quindi GOH è isoscele e rettangolo e GO = HO. Sommando a EO = FO, abbiamo che EG = FH.
Ah, e grazie per i problemi, Piera!
Soluzione imbiancata:
Indico con A,B,C le semiampiezze degli ancoli CAB, ABC, BCA.
Calcoliamo ^OBE = 45 - ^EBA = 45 - (90 - ^A)/2 = ^A = ^OAE, quindi OBAE è ciclico.
Allo stesso modo anche OBCF è ciclico.
Quindi ^BEO = ^BAO = ^EAO = ^EBO, cioè EOB è isoscele e EO = BO. Allo stesso modo FO=BO, quindi O è il circocentro di EFB.
^FEO = 180 - ^AEO = ^ABO = 45. Anche ^EFO è 45. Quindi EFO è isoscele e rettangolo e OE = OF. Quindi anche l'altezza di EOF rispetto ad EF è meta del lato, ma questa altezza è anche r, quindi EF = 2r.
^HOG = 90, ma anche ^HBG = 90, quindi BGOH è ciclico. Da cui ^GHO = ^GBO = 45, e anche ^HGO = 45, quindi GOH è isoscele e rettangolo e GO = HO. Sommando a EO = FO, abbiamo che EG = FH.
Ah, e grazie per i problemi, Piera!