somma minima

[Piera]

Sia ABC un triangolo e sia P un punto del piano, H, K, L sono le proiezioni ortogonali di P sulle rette BC, CA, AB. Trovare il punto P per il quale $ BH^2+CK^2+AL^2 $ è minima.

[edriv]

Da un noto teorema (Carnot, si chiama?) sappiamo che BH^2+CK^2+AL^2 = CH^2+AK^2+BL^2. Quindi minimizzare una somma equivale a minimizzare il suo doppio, cioè:
BH^2+HC^2 + CK^2+KA^2+AL^2+LB^2.
Ora, se a,b,c sono i lati, avremo che date le condizioni:
x+y=a
Per minimizzare x^2+y^2 dovremo avere x=y, per AM-QM. Quindi se scelgo il circocentro (se e soltanto se), questo è verificato su ogni lato, quindi va bene.