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Sia $ ABC $ un triangolo. Da $ A $ si conduca l'altezza $ AH $ a $ BC $; da $ B $ la mediana $ BM $ a $ AC $ e da $ C $ la bisettrice $ CQ $ a $ AB $. Dire se esistono dei triangoli, ad eccezione di quelli equilateri, tali che $ AH $, $ BM $ e $ CQ $ sono concorrenti.

Esistono.
Prendi un angolo acuto AOB non di 60°, bisecalo, traccia da A la perpendicolare a OB, traccia da M (punto medio di OA) la retta passante per l'intersezione tra bisettrice e perpendicolare precedentemente disegnate. Questa retta incontra OB in C. Allora AOC soddisfa la proprietà da te enunciata.

Perfetto!