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Dimostrare che il sostegno di una curva è un sottoinsieme di $ \mathbb{R}^n $ sequenzialmente compatto e connesso.

Nota: il sostegno di una curva è definito come $ \phi([a,b]) $ dove la funzione $ \phi: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n $ (detta "parametrizzazione della curva") è una funzione continua definita in un intervallo chiuso e limitato (non degenere) di $ \mathbb{R} $

Beh, una funzione continua manda compatti in compatti e connessi in connessi, quindi la tesi segue dalla compattezza e connessione di [a,b]...

EvaristeG ha scritto:..una funzione continua manda compatti in compatti e connessi in connessi..

... e allora dimostriamo questo!

Se K è un compatto di uno spazio topologico X e f:X-->Y è continua, sia C=f(K) e sia dato un ricoprimento di aperti $ (U_i)_{i\in I} $ di C. Per la continuità di f, gli insiemi $ V_i=f^{-1}(U_i) $ sono aperti in X e dunque formano un ricoprimento aperto di K, da cui è possibile estrarre per la compattezza di K un sottoricoprimento finito, diciamo $ V_{i_1},\ldots,V_{i_n} $; ma allora gli insiemi $ U_{i_1},\ldots,U_{i_n} $ sono un sottoricoprimento finito di $ (U_i)_{i\in I} $. Poichè questo si può fare per ogni ricoprimento di C, quest'ultimo è compatto.

Se del resto K è un connesso, supponiamo che C non lo sia, allora esistono U,V aperti di C disgiunti che uniti danno C; per la continuità di f, gli insiemi $ f^{-1}(U)\cap K,\ f^{-1}(V)\cap K $ sono aperti di K, sono disgiunti e la loro unione da K, quindi anche K è sconnesso, ma questo è assurdo, quindi due tali insiemi non esistono, quindi C è connesso.

...mi viene ora in mente che magari tu non sai nulla di topologia... in tal caso, beh, ti direi di studiarla, altrimenti ecco le dimostrazioni fatte in R^n.
Se $ f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m $ è continua, dato un insieme (sequenzialmente) compatto K in R^n, sia (y_k) una successione di Cauchy nell'insieme f(K); allora il suo limite sarà immagine di almeno uno dei punti di accumulazione dell'insieme $ \{f^{-1}(y_k)\mid k\in\mathbb{N}\}\cap K $, ma questi punti stanno tutti in K (che è compatto) e quindi le loro immagini stanno in f(K), che dunque è (sequenzialmente) compatto.
Per la connessione, la cosa dovrebbe esserti chiara, visto che non c'è definizione alternativa ... al più, potrebbe essere più semplice dimostrare direttamente la connessione per archi dell'immagine che, visto che la funzione è proprio un arco, è banale.