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Si dimostri che $ x^2+y^2+z^2=2xyz $ non ha soluzioni intere ad eccezione di $ x=y=z=0 $. Ci sono almeno due modi di farlo...trovateli

Caso 1)Due tra x, y e z sono dispari, uno è pari. Sia wlog z pari e x e y dispari. Si ponga $ z=2z_1 $. Allora si ha:

$ x^2+y^2+4z_1^2 = 4xyz_1 $

Assurda modulo 4 perchè x e y sono dispari.

Caso 2)x, y e z sono pari. Allora $ x=2^{\alpha_x}x_1 $, $ y^{\alpha_y}=2y_1 $, $ z=2^{\alpha_z}z_1 $, con $ x_1,y_1,z_1 $ dispari, e wlog $ \alpha_x \geq \alpha_y \geq \alpha_z $

$ 2^{2\alpha_x}x_1^2+2^{2\alpha_y}y_1^2+2^{2\alpha_z}z_1^2=2^{\alpha_x+\alpha_y+\alpha_z+1}*x_1y_1z_1 $

Possiamo semplificare impunemente un fattore $ 2^{2\alpha_z} $ e otteniamo

$ 2^{2\alpha_x-2\alpha_z}x_1^2+2^{2\alpha_y-2\alpha_y}y_1^2+z_1^2=2^{\alpha_x+\alpha_y-\alpha_z+1}*x_1y_1z_1 $

Questa è sicuramente vera sia nel caso che il membro a sinistra sia dispari (allora si vede subito) sia nel caso che sia pari (si riconduce al caso 1)

Un pò oscura l'ultima parte ma sembra che vada bene.
Qualcuno che lo fa per "discesa infinita"?

...E magari fa vedere come si formalizza che non me lo ricordo e non l'ho fatto in quel modo perchè non me lo ricordo?

Alla fine la soluzione è la stessa... comunque un altro modo di scriverla sarebbe:
Se (x,y,z) è soluzione, allora (x,-y,-z) lo è anche, quindi basterà considerare solo le soluzioni positive (tra x,y,z quelli negativi sono 0 o 2).
Tra tutte le soluzioni positive (x,y,z) prendiamo una che ha la somma x+y+z minima. Infatti, x + y + z è un intero positivo, e ogni insieme di interi positivi ha minimo.
Ora, si vede che devono essere tutti e 3 pari, e quindi anche $ (\frac x2, \frac y2, \frac z2) $ è soluzione, ma questa somma è minore di quella prima, assurdo.

Bene anche questa, edriv, ma ce n'è ancora una. Chi ci prova?

Qualcosa in sui si ottiene una sequenza strettamente decrescente di interi o qualcosa che non ha a che fare direttamente con le varie forme del principio di induzione?

Credo che non sia nessuna di queste due... dovresti ottenere qualcosa come delle potenze $ 2^\infty $ che dovrebbero dividere un polinomio... dai, ora ho detto tutto raga!!!

Bene anche questa un tubero, hemm... ho scritto una grande cazzata!
Cerco di tamponare, con una soluzione uguale a quella di PigKappa, ma devo proprio tamponare dopo una figuraccia del genere!

L'errore sta nel fatto che x/2,y/2,z/2 non è un corno una soluzione, ovviamente, perchè l'equazione è omogenea.
Sia k il massimo intero positivo tale che $ 2^k | (x,y,z) $.
Allora $ x=2^ka,y=2^kb,z=2^kc $, uno dei tre, mettiamo a, è dispari.
Sostituendo, otteniamo:
$ ~ 2^{2k}(a^2+b^2+c^2)=2^{3k+1}abc $
$ ~ a^2+b^2+c^2 = 2^{k+1}abc $
Ora, siccome a è dispari, essendo RHS pari, uno tra b e c, mettiamo b, deve anche essere dispari. Ma allora $ a^2+b^2+c^2 \equiv 1 + 1 + 0 \pmod 4 $, mentre RHS è divisibile per 4.

E' vero, quel particolare mi era sfuggito, comunque c'è ancora un modo senza le congruenze.
Forza ragazzi, provateci!!!

Allora, se nessuno ci prova lo posto io.
LHS è pari: quindi o è pari un termine o tutti e tre; se solo uno fosse pari sarebbe $ RHS \equiv 0 \pmod{4} $ e $ LHS \equiv 2 \pmod{4} $, contraddizione. Quindi sono tutti pari. Sia $ x=2x_1, y=2y_1, z=2z_1 $. Otteniamo: $ x_1^2+y_1^2+z_1^2=4x_1y_1z_1 $. Procedendo come prima arriviamo al punto che $ x=2x_1=2^2x_2=2^3x_3=\cdots =2^nx_n $, e lo stesso vale per $ y $ e $ z $. Il che significa che $ 2^\infty |x, 2^\infty |y, 2^\infty |z $ :ciò è possibile solo per $ x=y=z=0 $.