OliForum Matematico

ciao!

sapreste darmi un consiglio su come svolgere l'integrale indefinito di exp(-x^2)?

...so che non è banale!

classico modo mostrato in analisi2
$ \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \!\!\! \int_{-\infty}^{+\infty} \!\!\! e^{-(x^2+y^2)} \textrm{d}x\textrm{d}y=\int_{-\infty}^{+\infty} \!\!\! e^{-x^2} \textrm{d}x \int_{-\infty}^{+\infty} \!\!\! e^{-y^2} \textrm{d}y $$ \displaystyle = \left( \int_{-\infty}^{+\infty} \!\!\! e^{-\xi^2} \textrm{d}\xi \right)^2 $
ma
$ \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \!\!\! \int_{-\infty}^{+\infty} \!\!\! e^{-(x^2+y^2)}\textrm{d}x\textrm{d}y=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{+\infty} \!\!\! e^{-\rho^2} \rho\textrm{d}\rho\textrm{d}\phi $

già, peccato che si chieda INDEFINITO.

Non è per nulla banale, anzi, si dimostra che non è possibile scrivere in termini di polinomi, esponenziali, logaritmi, seni, coseni la primitiva di exp(-x^2).
Infatti la funzione che ad ogni t reale associa il numero
$ \int_{-\infty}^te^{-x^2}dx $
si chiama erf(t), ovvero "error function", e, come ho già detto, non si riesce a scrivere in funzione di t in modo elementare (cioè tramite le cose che ho citato prima).

Se il tuo obiettivo era calcolare l'integrale su tutto R, segui il metodo di SkZ, oppure chiedi e magari (se io ho tempo/voglia, oppure se qualcun altro lo sa) verrà postato anche un altro metodo, meno furbo, ma da analisi I.
Altrimenti, se invece volevi proprio la primitiva, rassegnati al fatto che non si può scrivere.

EvaristeG ha scritto:già, peccato che si chieda INDEFINITO.

pensavo in un errore di scrittura, anche perche', come hai precisato, il calcolo della primitiva non e' difficile, ma impossibile.
e spesso la gente e' intressata alla dimostrazione di quello definito su tutto $ ~\mathbb{R} $

Non capisco scusate.. com è possibile che non esista la primitiva di una funzione?

E sì che l'ho detto : non ti dico che non esiste, ti dico solo che non la puoi scrivere in funzione di x utilizzando solo le 4 operazioni, le potenze, gli esponenziali, i logaritmi e le funzioni trigonometriche. Non penserai mica che così si scrivano tutte le funzioni? Ad esempio :
$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}q^{-2}&\textrm{ se }x=p/q\in\mathbb{Q}\\0&\textrm{ se }x\not\in\mathbb{Q}\end{array}\right. $
questa non si scrive come
f(x)=(roba fatta con polinomi esponenziali logaritmi e trigonometriche)
ma solo come te l'ho scritta io.
Allo stesso modo, una primitiva di exp(-x^2) si scrive così
$ erf(t)=\int_{-\infty}^{t}e^{-x^2}dx $
poichè l'integranda è regolare, questa funzione esiste ed è derivabile infinite volte, per di più, ma non si può scrivere con solo le cose suddette.
Per capirci, è un po' come dire che sin(x) non si può scrivere come polinomio in x, oppure che x^(1/2) non si può scrivere solo in funzione di seni e coseni di x.

purtroppo ne esiste una marea di funzioni "normali" che non hanno una primitiva descrivibile semplicemente, gli integrali ellittici sono una semplice prova (purtroppo )
http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale_ellittico
La funzione gamma e' definita solamente come un integrale.
$ ~\frac{e^x}{x} $ non ha la primitiva esprimibile con funzioni trascendenti&C, ma non ricordo se si ricoduce ad uno dei casi sopra indicati

in fisica capita spesso che la soluzione di un'equazione differenziale non sia esprimibile come composizione di funzioni "note" (trascendenti, polinomiali, fratte, radici,...), come nel caso dei politropi di cui si conoscono la formula di soli 3 casi
http://en.wikipedia.org/wiki/Polytrope

qui ce ne un po', anche se a volte riconducibili tra loro
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzioni_speciali

Se non sbaglio anche la funzione primitiva di $ e^{x^2} $ non può essere definita con le funzioni fondamentali sopraccitate

grazie a tutti! ora è tutto più chiaro!

salva90 ha scritto:Se non sbaglio anche la funzione primitiva di $ e^{x^2} $ non può essere definita con le funzioni fondamentali sopraccitate

http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... php?t=5621

Sam ha scritto:Se il tuo obiettivo era calcolare l'integrale su tutto R, segui il metodo di SkZ, oppure chiedi e magari (se io ho tempo/voglia, oppure se qualcun altro lo sa) verrà postato anche un altro metodo, meno furbo, ma da analisi I.

Qual è il metodo da Analisi I ?

Ok. E se fosse $ $\int_{-\infty}^\infty e^{x^2} \textrm{d}x $ posso agire in maniera simile all'integrale esaminato all'inizio del topic, vero? Cambiando solo il segno di $ x^2 $ dovrebbe essere molto simile, almeno credo. O sbaglio ?

Per quella è più facile : $ e^{x^2}\ge e^0=1 $ quindi l'integrale fa +infinito.

Oddio che stupido che sono: non ho tenuto conto che il segno che cambiava era all'esponente . E' vero, questo risulta semplice