OliForum Matematico

Ciao Forum!!!

Qualcuno mi potrebbe dare una mano!!
Non riesco proprio a risolvere questo integrale:

$ \displaystyle\int \frac{dx}{\left( x-\frac{1}{4}\right) \sqrt{ x^{2}-\frac{1}{2} }} $

ho provato diverse sostituzioni... ma niente...invece di semplificare la situzione la complico!!
help help help!!
Ciaoooooo!
ps
grazie mille in anticipo!!

Usa la sostituzione $ \sqrt{x^2-\frac{1}{2}}=x+t $. Elevando al quadrato entrambi i membri e semplificando, si ricava $ x=-\frac{1+2t^2}{4t} $, che permette di trasformare l'integrale iniziale in uno razionale, sempre calcolabile.
In genere, gli integrali della forma $ \int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c}) dx $, dove $ R $ è una funzione razionale, si razionalizzano usando la sostituzione $ \sqrt{ax^2+bx+c} = x \sqrt{a} + t $. Si tratta di un procedimento puramente meccanico, e per questo tradizionalmente escluso dai programmi di analisi.

Puoi utilizzare la sostituzione
$ \displaystyle x=\frac{\cosh(\log t)}{\sqrt{2}} $
per ricondurti all'integrale
$ \displaystyle \int\frac{4\sqrt{2}}{2t^2-\sqrt{2}t+2}\,dt $