OliForum Matematico

Ciao a tutti!!

Spero sia nella sezione giusta dato che vorrei solo sapere alcune formule. Per esempio come si calcola la distanza di un punto $ A(x_0,y_0,z_0) $ dello spazio da una retta $ r $ di cui si conoscono un suo punto $ B(x_1,y_1,z_1) $ e un vettore direzionale $ (x_2,y_2,z_2) $?

E come si calcola invece la distanza tra due rette sempre in forma parametrica?

Grazie mille per l'aiuto!

Ciao!

1) conoscendo un punto della retta r ed un suo vettore direzionale, è immediato scriverne l'equazione parametrica, essa sarà
$ x=x_1+x_2t $
$ y=y_1+y_2t $
$ z=z_1+z_2t $

a questo punto si scrive l'equazione della retta s passante per $ (x_0,y_0,z_0) $, perpendicolare ed incidente a r. Per fare questo, come parametri direttori di s si mette la differenza tra A e un punto generico di r, così
$ x=x_0+(x_0-(x_1+x_2t))u $
$ y=y_0+(y_0-(y_1+y_2t))u $
$ z=z_0+(z_0-(z_1+z_2t))u $
Imponendo la somma dei prodotti tra le componenti del vettore direzionale di r e quelle di s uguale a 0 (condizione di perpendicolarità), trovi la t da sostituire nell'equazione di s. Ora intersechi r ed s e calcoli la distanza tra il punto d'intersezione e A, e il gioco è fatto!

2) - se le rette sono incidenti, la distanza è 0.
- se le rette sono parallele, siano (a,b,c) i parametri direttori delle due rette. Ora scrivi l'equazione del fascio di piani perpendicolare alle due rette, che sarà nella forma ax+by+cz+d=0. Hai a,b,c fissati, scegli un d a tuo piacimento (per esempio 0). Ora intersechi il piano con le due rette, trovi due punti e ne fai la distanza, e sei a posto.
- se le rette sono sghembe, è il caso più spinoso. Vi sono 2 metodi. Siano r ed s le rette in questione.

Primo metodo (più calcoloso): fai il prodotto vettoriale tra i vettori direzionali di r ed s, e trovi un terzo vettore perpendicolare ad entrambi. Questo è il vettore direzionale che caratterizza il fascio di rette perpendicolare sia ad r che ad s. Imponi l'incidenza con r e con s (risolvendo un sistema di 6 equazioni in 6 incognite credo), trovando la retta del fascio incidente ad r e ad s, trovi i punti di intersezione e ne fai la distanza.

Secondo metodo (meno calcoloso): prendi una delle due rette, diciamo r, e scrivi l'equazione del piano $ \pi $ su cui giace r e parallelo ad s. Ora prendi un punto a caso di s e ne calcoli la distanza da $ \pi $. Questa è la distanza desiderata.

Grazie per la'iuto!

Avrei ancora un dubbio piccolo piccolo...

Volevo sapere come faccio a passare dalla forma cartesiana di un piano alla sua forma parametrica. Tutto qui!

Grazie comunque, saluti!

Sia $ \alpha X + \beta Y + \gamma Z = 0 $ l'equazione cartesiana del piano, con $ \alpha, \beta, \gamma $ non tutti 0.

Scegli un'incognita con coefficiente diverso da 0 (diciamo $ Z $).

Risolvi l'equazione in $ Z $ e ottieni
$ Z = f(X,Y) $ per una certa f() equazione di primo grado.

La forma parametrica è (ad esempio):
$ X=t, Y=u, Z=f(t,u) $

Nota che la forma parametrica non è unica. Questo è solo uno dei modi possibili (e non necessariamente il più furbo...)