OliForum Matematico

scusate la mia somma idiozia, ma non riesco a risolvere questo problemino:

premetto, mi serve per dimostrare che la tangente a un ellisse forma angoli uguali con le congiungenti ai due fuochi, quindi NON vale usare le ellissi per risolverlo.

Allora, prendiamo un triangolo isoscele, base AB e vertice C.

Tracciamo una retta "r" passante per C parallela alla base AB.

Prendiamo sul lato sinistro (AC) un punto O.

Dimostrare che per ogni punto "P" sulla retta "r" diverso da C:

|OP|+|PB|>|OC|+|BC|

io ci provo, però nn mangiatemi se sbaglio, è il mio primo post. allora penso sia così:
per le disuguaglianze triangolari OP+PB>OB come anche OC+CB>OB. sottraendo membro a membro la seconda dalla prima si ha OP-OC+PB-CB>0 e quindi OP+PB>OC+BC. fatemi sapere se è corretto. ciao[/list]

Purtroppo no.

L'errore che hai fatto:

a>c
b>c

nessuno ti garantisce che a-b>0

in parole povere, tu sai che a e b sono più grandi di c, ma chi ti garantisce che a sia più grande di b?

già! me ne sono accorto solo stamattina a scuola... che vergogna!!!! provo a rifarmi.

allora prolunghiamo il lato BC dalla parte di C fino ad incontrare la retta passante per O e perpendicolare ad r. chiamiamo il punto di incontro O' e l'intersezione del segmento OO' con r H. l'angolo ACH=CAB (perchè alterni interni) e ABC=HCO'(perchè corrispondenti). ma poichè l'angolo ABC=BAC, O'CH=OCH. ora si può facilmente dimostrare che OC=O'C quindi OCO' è isoscele. allora r è asse del segmento OO' e perciò OP=O'P. la distanza minima tra due punti è il segmento che li congiunge. considerando i punti O' e B la distanza minima è uguale a O'C+CB=OC+CB che deve essere necessariamente minore di O'P+PB=OP+PB. perciò OC+BC<OP+PB.
spero di non aver fatto altri errori stupidi. fammi sapere. ciao!

Ok perfetto!

Mi faresti un favore se mi dimostri anche che se r non è parallela alla base AB allora esiste su di essa un punto P per cui:

|OP|+|PB|<=|OC|+|CB|

se ti basta trovare almeno un punto ci sono riuscito.
inclinando la retta r dalla parte di AC, costruiamo il simmetrico di O rispetto a r e chiamiamolo O'. chiamiamo H l'intersezione del segmento OO' con r. anche in questo caso r è asse del segmento quindi OP=O'P e O'C=OC. prendiamo un punto P appartenente al segmento CH. adesso costruiamo un segmento PB' congruente a PB e uniamo B a B' formando così il triangolo isoscele PBB'. uniamo anche C a B'. si ha quindi che O'P+PB'< OC+CB' .
considerando il triangolo BB'C si ha che il lato CB è maggiore di CB' perchè l'angolo CB'B>CBB'. per cui si ha anche che O'P+PB'<O'C+CB, ed è dimostrato che OP+PB<OC+CB.
questa dimostrazione è valida però solo per i punti di r compresi tra H e C. non sono riuscito a fare meglio mi spiace.

PS: comunque girando su internet ho trovato la dimostrazione della proprietà dell'ellise che dicevi: la puoi trovare su wikipedia qui http://it.wikipedia.org/wiki/Ellisse spero di essere stato utile. ciao

ok ho visto tutto, anche il teorema di erone, che semplifica tutto.

Prendendo il disegno sul link:

prendiamo i due punti A e B e una retta r. C è il punto su r che minimizza |AC|+|CB|.

Dividiamo r in due semirette s e t uscenti da C.

Per ogni coppia di punti O e P sulla stessa semiretta, tali che |PC|>|OC|, abbiamo che:

|AP|+|PB|>|AO|+|OB|

Per dimostrarlo prendiamo il solito punto A', simmetrico di A rispetto a r.

La tesi si può riscrivere come : |A'P|+|PB|>|A'O|+|O'B|

Ora vediamo che il triangolo A'OB è contenuto nel triangolo A'PB, per cui, dalla proposizione I.21 di euclide:

|A'P|+|PB|+|AB|>|A'O|+|O'B|+|AB|


da cui segue la tesi. (la dimostrazione della proposizione I.21 è reperibile su:
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/e ... opI21.html )

Dalla tesi appena dimostrata segue che, se P è un punto su una delle due semirette,

la funzione:

f(|PC|)=|AP|+|PB|

è strettamente crescente, per cui assume ogni valore una e una sola volta.

Quindi se si sposta P lungo la retta r in un verso, avremo che:

|AP|+|PB|

sarà strettamente decrescente fino a quando P coinciderà con C, poi una volta superato C sarà strettamente crescente.

Sia dato y reale positivo,


Se y>|AC|+|CB|, allora ci sono solo due punti P e P' da parti opposte rispetto a C tali che:

|AP|+|PB|=y

Se y=|AC|+|CB|, i due punti sono coincidenti in C.

Se y<|AC|+|CB| non esistono punti p tali che: |AP|+|PB|=y

Da cui vediamo che una retta che interseca un'ellisse può solo essere tangente o intersecarla in due soli punti.

Ok grazie mille per l'aiuto, da solo non ci riuscivo... poi ho cercato anch'io altri teoremi su internet!

Vedo lunghe dimostrazioni; ne aggiungo una molto breve.
Detto D il simmetrico di O rispetto ad r, per ogni posizione di P su r si ha PO+PB=PD+PB e quest’ultima spezzata è minima quando i suoi tre vertici sono allineati; il minimo cercato si ha quindi nell’intersezione fra r e DB che, in caso di non parallelismo, non coincide con C

Ok gianmaria quello è il teorema di erone.

Il punto C è di minimo, ma io volevo vedere anche che la funzione OP+PB assume ogni valore due sole volte, escluso il minimo OC+CB che viene assunto una volta sola.