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Dato un quadrilatero ABCD, siano P, Q, R ed S i punti medi dei suoi lati e sia M un punto sul piano. Si dimostri (tramite geometria sintetica) che la figura ottenuta congiungendo i simmetrici di P, Q, R, S rispetto a M è un parallelogramma.

@ pigkappa: ti ho battuto sul tempo
@ gabriel: la tua soluzione non è di geom sintetica, quindi non vale

praticamente il problema chiede di dimostrare che unendo i punti medi di un quadrilatero si ottiene un parallelogramma perchè poi non è altro che un'omotetia di centro M

Ma dai..fanatico dell’euclidea…i vettori a cosa servirebbero scusa?
Bisogna dimostrare che:
S-P=R-Q

sappiamo che:
2S=D+A
2P=D+C
2Q=C+B
2R=A+B
quindi:
A+D-(D+C)=A+B-(C+B)
E concludiamo con un’omotetia di centro M e rapporto -1.

salva90 ha scritto:Dato un quadrilatero ABCD, siano P, Q, R ed S i punti medi dei suoi lati e sia M un punto sul piano. Si dimostri (tramite geometria sintetica) che la figura ottenuta congiungendo i simmetrici di P, Q, R, S rispetto a M è un parallelogramma.

@ pigkappa: ti ho battuto sul tempo
@ gabriel: la tua soluzione non è di geom sintetica, quindi non vale

Battuto sul tempo? Io l'ho fatto coi vettori ieri prima ancora di dirtelo . Comunque il testo del problema non era esattamente questo, ma bisognava fare i simmetrici di M rispetto a P, Q, R, S, non il contrario. Coi vettori ad ogni modo viene pressapoco uguale (trovi i punti simmetrici di M e verifichi la somma, senza bisogno di omotetie).

Allora me l'hai presentato male, così è anche più ganzo!