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trovare tutte le soluzioni in $ \mathbb{Q}(i) $ dell'equaione:

$ x^2+y^2=z^2 $

ciao.

se con Q(i) intendi l'insieme dei numeri immaginari sono infinite come quelle reali

Anche le soluzioni in Z sono infinite, ma questo non vuol dire che non si possa dire come produrle tutte. Comunque Q(i) indica i numeri della forma a+ib con a e b razionali.

ad esempio:

tutte le soluzioni dell'equazione in $ \mathbb{Z} $ sono tutte e sole

$ x=a^2-b^2 $, $ y=2ab $, $ z=a^2+b^2 $ con $ a,b \in \mathbb{Q} $ come e' ben noto.

Beh, ragionando allo stesso modo dei razionali prendiamo $ X=x/z $ e $ Y=y/z $. Ora dobbiamo trovare tutte le soluzioni all'equazione $ X^2+Y^2 =1 $ (ovviamente $ X $ e $ Y $ sono ancora elementi di $ \mathbb{Q} (i) $ ).

ora prendiamo la retta $ Y=m(X-1) $ con $ m \in \mathbb{Q} (i) $. Abbiamo che l'intersezione fra la cfr e questa retta sono 2 punti di cui uno è conosciuto $ (1,0) $ e l'altro è $ (\frac{m^2-1}{m^2+1} , \frac {2m}{m^2 +1} ) $.

Quindi le soluzioni generiche saranno anche in questo caso $ (a^2-b^2,2ab,a^2+b^2) $ ma questa volta $ a,b \in \mathbb{Q} (i) $

Aleph_0 ha scritto:ad esempio:

tutte le soluzioni dell'equazione in $ \mathbb{Z} $ sono tutte e sole

$ x=a^2-b^2 $, $ y=2ab $, $ z=a^2+b^2 $ con $ a,b \in \mathbb{Q} $ come e' ben noto.

Doppiamente falso!!!

Non sono tutte: La soluzione (9,12,15) non è ottenibile, in quanto 15 non è la somma di due quadrati.

Non sono sole: se a=1/2 e b=1/3, non si ottiene una soluzione intera.

La cosa ben nota, invece, è che le terne pitagoriche irriducibili sono tutte e sole quelle ottenibili così, con a e b interi coprimi e di parità discorde. Inoltre a e b che generano una data terna sono unici.

grazie Marco per la correzione...
chiedo perdono per gli errori..

Figurati, capita.
Carino il problema!