OliForum Matematico

Prendiamo un pentacisdodecaedro inscrittibile in una sfera(solido di 60 faccie ottenuto aggiungendo piramidi a base pentagonale alle faccie di un dodecaedro) e iscriviamo in esso il dodecaedro da cui si è attenuto e un icosaedro unendo i vertici rimanenti. Dall'intersezione del dodecaedro e dell'icosaedro otteniamo 12 piramidi a base pentagonale col vertice superiore quello dell'icosaedro.
Detto l lo spigolo del pentacisdodecaedro trovare la somma dei volumi e la somma delle superfici di queste piramidi in funzione di l.

nessuno ci prova?

forse sta volta ho un po' esagerato?

No è che di geometria solida non gliene frega una beata ceppa a nessuno... domani mi dici come si fa che almeno lo posto io

nessuno ci ha ancora provato?

Non è vero, a me piace la geometria solida, e anche ad altri. Chi la odia è perché non la vede, secondo me (un po' come col resto della matematica).

Lo so, non era un discorso serio il mio, è che non vedo l'utilità di postare problemi che riuscite a risolvere solo voi due (anche perchè la geometria solida non la studia quasi nessuno, nè a scuola nè altrove, in quanto mi sembra che sia rarissima- se non del tutto assente- in campo olimpico).
Se volete aumentare la cerchia di persone che la apprezzano, postate problemi meno spaziali, ecco!

Forse parlo così perchè io non ci capisco un tubo

Probabilmente nessuno risponde perchè rimane ipnotizzato dal tuo avatar rotante e dalla tua firma rotante

Scherzi a parte, cerco almeno di capire il testo del problema.
Secondo i miei calcoli, un dodecaedro ha 12 facce, 20 vertici, 30 spigoli.
Un pentaciscoso avrebbe 32 vertici. Se costruisco un icosaedro coi 12 vertici rimanenti, questo sarebbe in un certo senso "circoscritto" al pentacisdodecaedro.
Poi tu parli dell'intersezione tra dodecaedro e icosaedro... e qui mi blocco, non sarebbe il dodecaedro stesso?

praticamente i vertici dell'icosaedro sono il vertice superiore delle 12 piramidi a base pentagonale e di lati congruenti costruite sulle facce del dodecaedro.

a forse ho capito cosa intendi...però in questo caso il pentacisdodecaedro e incrivibile a una sfera perchè a tutti i lati congruenti quindi non è un solido concavo

Allora:
- l'intersezione tra il dodecaedro e l'icosaedro è il dodecaedro stesso?
- tutti i lati del pentacisdodecaedro sono uguale? Altrimenti sarebbe tutto in funzione di l o serve altro?
- le piramidi di cui devo calcolare il volume sono semplicemente quelle costruite sulle facce del dodecaedro o altro?

siccome aggiungi piramidi di lati uguali, il lato del pentacisdodecaedro è fisso e evidentemente è uguale a quello del dodecaedro, quindi è tutto in funzione di l.
le piramidi di cui devi calcolare i volumi non sono quelle del dodecaedro ma sono quelle che ottieni "tagliando" le 12 punte degli icosaedri con i piani delle facce del dodecaedro. o detto in altro modo le punte dell'icosaedro spuntano dalle facce del dodecaedro creando all'interno di ogni faccia dei pentagoni più piccoli della faccia stessa che sono le basi delle dodici piramidi con vertice superiore il vertice corrispondente dell'icosaedro.

Spero di essermi spiegato.

Hmm ... non mi è chiaro: prendiamo un dodecaedro; aggiungiamogli sopra le facce delle piramidi che hanno come base (ovviamente) i pentagoni regolari che compongono il dodecaedro. Ora rimane da decidere che altezza devono avere queste piramidi.
Ora, se si vuole che le facce laterali di queste piramidi siano dei triangoli equilateri (come sembra suggerire Gabriel), otteniamo un solido concavo ... (se non ci credete fatevi un po' di conti di trigonometria e troverete un angolo diedro tra le facce laterali di due piramidi diverse di 191° e spicci).
Del resto, se invece si vuole che sia inscrittibile in una sfera, si ottiene invece un solido convesso e si hanno delle precise condizioni sull'altezza delle piramidi, che però non avranno più gli spigoli obliqui della stessa lunghezza degli spigoli di base.

è vero! che stupido non mi ero accorto di questo particolare...il pentacisdodecaedro iniziale non ha i lati congruenti ma è semplicemente inscritto in una sfera, anche perchè sennò in effetti sarebbe concavo...si si avete ragione voi, cambio subito il testo. In effetti mentre lo avevo risolto io pensavo a un pentacisdodecaedro iscritto in una sfera e non di lato unitario...ho fatto un pasticcio col testo

Onestamente mi sembra un troiaio di conti, esiste un modo semplice?
L'unica cosa carina che ho fatto saltare fuori è che l'intersezione di dodecaedro e icosaedro è un "pallone da calcio" perfetto. Inoltre, ogni spigolo dell'icosaedro è diviso dal dodecaedro in 3 parti uguali.
Quindi le 12 piramidine pentagonali hanno tutti gli spigoli uguali, e detto l lo spigolo del dodecaedro, lo spigolo delle piramidine vale

$ \displaystyle \frac{l}{90} \sqrt{\frac{109(110 \sqrt{5}+250)}{6 \sqrt{5}+17}} $.

A voi il resto dei conti, ormai è facile.