Posto la mia soluzione.
L'idea di base è:
$ ~ ab+bc+ca \le \frac 32 $... questo ricorda misteriosamente la nota disuguaglianza $ ~ \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma \le \frac 32 $ in un triangolo.
Quindi cercherò di ridurmi a questa, e son solo conti.
Abbiamo $ ~ \frac 1 {1+c^2} \le 1 $ quindi $ ~ \frac 1 {a^2+1} + \frac 1 {b^2+1} \ge 1 $ da cui, cancellando i denominatori, $ ~ a^2b^2 \le 1 $ o $ ~ ab \le 1 $.
Quindi sostituisco: $ x=bc=\cos \alpha $ e cicliche.
Allora $ ~ a^2 = \frac {yz}x $.
Sostituisco tutto nella condizione iniziale e cancello i denominatori:
$ ~ \sum x(y+xz)(z+xy) = (x+yz)(y+zx)(z+xy) $
Sviluppo, cancello tutto quello che posso e divido per xyz. Ottengo:
$ ~ x^2+y^2+z^2 + 2xyz = 1 $
Ora, il mio scopo è dimostrare che x,y,z sono i coseni di un triangolo (acutangolo, addirittura, visto che son positivi)
Cioè $ ~ \cos (\beta + \gamma) = \cos \alpha $
$ ~\cos \beta \cos \gamma - \sin \beta \sin \gamma = \cos \alpha $
$ ~ yz-x = \sin \beta \sin \gamma $
Elevando al quadrato (sarebbero da sistemare i segni, ma non ho voglia):
$ ~ (yz-x)^2 = \sin^2 \beta \sin^2 \gamma = (1-y^2)(1-z^2) $
Che, se lo sistemiamo, diventa:
$ x^2+y^2+z^2+2xyz = 1 $
Ora sappiamo che x,y,z sono i coseni di un triangolo acutangolo. Il fatto (noto) che
$ \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma \le \frac 32 $
segue semplicemente da Jensen. Vale anche per il triangolo ottusangolo, ma non si fa con Jensen, e soprattutto non ci serve.