OliForum Matematico

Ovviamente questo post non c'entra molto con la combinatoria. Se esistesse, lo posterei nella categoria "matematizzazione"; purtroppo non c'è una corrispondenza uno a uno a tra le sezioni del forum e le categorie dei problemi olimpici (mancano appunto matematizzazione e logica) Fra parentesi è anche una delle categorie più belle, comprendendo i problemi per i quali non c'è niente da sapere a priori. Comunque ecco il problema.

Abbiamo 7 scale a pioli una accanto all'altra e 7 scimmiette, ciascuna della quali sta alla base di una delle scale. In cima ad ogni scala c'è una banana, perciò le scimmiette iniziano a salire ciascuna la propria scala, attirate dalle banane. Tra le scale sono anche tese delle corde, ed ogni scimmia che si rispetti non resiste alla tentazione di percorrere una corda appena ne incontra una. Terminato di percorre la corda, la scimmia prosegue salendo la scala su cui è arrivata. Riuscirà ciascuna scimmia ad arrivare ad una banana?

Rispondo già alle inevitabili obiezioni sul fatto che il problema sia posto male.

Sì, se due scimmie si incontrano in senso opposto su una corda, sono abbastanza agili da passare come se niente fosse.
No, non ci sono due corde che partono alla stessa altezza dalla stessa scala.
No, non ci sono neppure corde che partono esattamente a livello del suolo, nè corde che partono esattamente in cima ad una scala.
Sì, le corde non sono necessariamente orizzontali, e possono quindi incrociarsi.
Sì, anche se una corda scende la scimmia la prende lo stesso.

Buon lavoro!

Aggiungo anche che di questo problema esistono almeno due soluzioni sostanzialmente diverse.

Uhm, ti sei dimenticato qualche obiezione (magari tra le più stupide)!

Cosa bisogna dimostrare?
Se in ogni configurazione di corde-pioli ciascuna scimmia arriva ad una banana (senza che prima l'abbia mangiata un'altra)?
Se esiste una configurazione in cui questo sia possibile?
Determinare tutte le configurazioni in cui questo è possibile?

Nonno Bassotto ha scritto:Ovviamente questo post non c'entra molto con la combinatoria. Se esistesse, lo posterei nella categoria "matematizzazione"; purtroppo non c'è una corrispondenza uno a uno a tra le sezioni del forum e le categorie dei problemi olimpici (mancano appunto matematizzazione e logica)

Ti sbagli, la combinatoria comprende tutte queste cose. (Definizione Gobbiniana: la combinatoria è la complementare di algebra, geometria e teoria dei numeri. A dirla tutta, anche a me va un po' stretta, ma a molti piace).
Nell'indice del forum trovi scritto:

Combinatoria
Conteggi, probabilità, invarianti, logica, ...

Logica c'è, e la matematizzazione sono i 3 puntini. Volendo, lo si può scrivere esplicitamente.

Nonno Bassotto ha scritto:Abbiamo 7 scale a pioli una accanto all'altra

sono in fila o a cerchio?

Nonno Bassotto ha scritto:Tra le scale sono anche tese delle corde, ed ogni scimmia che si rispetti non resiste alla tentazione di percorrere una corda appena ne incontra una.

se la corda scende la segue o continua a salire? Ovvero chi ha la meglio: la corda o la banana?

SkZ ha scritto:

Nonno Bassotto ha scritto:Tra le scale sono anche tese delle corde, ed ogni scimmia che si rispetti non resiste alla tentazione di percorrere una corda appena ne incontra una.

se la corda scende la segue o continua a salire? Ovvero chi ha la meglio: la corda o la banana?

Penso la prima... Nonno Bassotto ha scritto che le scimmie non possono resistere alla tentazione di percorrere la corda...

Hmm... Sbaglio o ci sono configurazioni in cui le scimmie continuano a girare per le corde all'infinito?

penso di no.
dato che le corde non possono partire/arrivare in uno stesso punto e le scale non sono infinite, allora c'e' una corda che raggiunge una scala nel punto piu' alto (ovvero sopra non sono legate altre corde), quindi la scimmia che prendera' quella corda reggiungera' la cima. a meno di non mettere infinite corde ...
essenzialmente il problema si riduce ai soli grupi di scale collegate tra loro

Se le corde sono un numero finito almeno una scimmia deve arrivare a mangiare una banana. Infatti è impossibile riuscire a fare "girare in tondo" una scimmia, cioè fare in modo che percorra una linea chiusa.
P.S. Per fare mangiare una sola scimmia basta fare in modo che tutte le scimmie arrivino in cima alla stessa scala.

SkZ ha scritto:

Nonno Bassotto ha scritto:Abbiamo 7 scale a pioli una accanto all'altra

sono in fila o a cerchio?

Nonno Bassotto ha scritto:Tra le scale sono anche tese delle corde, ed ogni scimmia che si rispetti non resiste alla tentazione di percorrere una corda appena ne incontra una.

se la corda scende la segue o continua a salire? Ovvero chi ha la meglio: la corda o la banana?

Le scale sono in fila (non mi sembra che poi importi veramente). Se la corda scende la scimmia ci va lo stesso.

edriv ha scritto:Uhm, ti sei dimenticato qualche obiezione (magari tra le più stupide)!

Cosa bisogna dimostrare?
Se in ogni configurazione di corde-pioli ciascuna scimmia arriva ad una banana (senza che prima l'abbia mangiata un'altra)?
Se esiste una configurazione in cui questo sia possibile?
Determinare tutte le configurazioni in cui questo è possibile?

Se in ogni configurazione di corde-pioli ciascuna scimmia arriva ad una banana.

fph ha scritto:Hmm... Sbaglio o ci sono configurazioni in cui le scimmie continuano a girare per le corde all'infinito?

Fa parte del problema rispondere a questo.

SkZ ha scritto:penso di no.
dato che le corde non possono partire/arrivare in uno stesso punto e le scale non sono infinite, allora c'e' una corda che raggiunge una scala nel punto piu' alto (ovvero sopra non sono legate altre corde), quindi la scimmia che prendera' quella corda reggiungera' la cima. a meno di non mettere infinite corde ...
essenzialmente il problema si riduce ai soli grupi di scale collegate tra loro

Chi ti dice che quella corda venga presa da almeno una scimmia?

Anlem ha scritto:Se le corde sono un numero finito almeno una scimmia deve arrivare a mangiare una banana. Infatti è impossibile riuscire a fare "girare in tondo" una scimmia, cioè fare in modo che percorra una linea chiusa.
P.S. Per fare mangiare una sola scimmia basta fare in modo che tutte le scimmie arrivino in cima alla stessa scala.

Sei sicuro che non si possano far girare in tondo le scimmie? Sei sicuro che si possano far arrivare tute le scimmie in cima alla stessa scala?

MindFlyer ha scritto:la matematizzazione sono i 3 puntini.

Ah, ok, non l'avevo capito