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Dimostrare che il numero
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,la cui parte decimale è l'accostamento di tutti e soli i numeri primi scritti in ordine crescente, è irrazionale.

Se vale usare il teorema di Dirichlet, questa potrebbe essere una soluzione.

Supponiamo che questa espressione decimale abbia un periodo di k cifre.
Allora, consideriamo tutti i primi con più di k cifre modulo 10^k. I loro resti potrebbero essere soltanto k, a seconda di quel è l'ultima cifra all'interno del periodo. Ma potremmo trovare un'altra successione di k cifre, diversa da tutte le "traslazioni" del periodo, che non finisca per 2 o per 5. Allora i primi che assumono questo resto modulo 10^k sono finiti, contraddicendo il teorema di Dirichlet.

Se però c'è una dimostrazione più carina (che non usa sto teoremazzo pesante), avvisaci

Oppure, essendoci (Chebysnev - a proposito di non usare teoremoni ) 2 primi di k cifre, dovrebbero essere uguali...

@edriv: no, anche quella che ho trovato io fa uso di Dirichlet... A dire il vero ho postato questo problema proprio per vedere se ne esistevano di più elementari...

jim ha scritto:@edriv: no, anche quella che ho trovato io fa uso di Dirichlet... A dire il vero ho postato questo problema proprio per vedere se ne esistevano di più elementari...

Esistono infiniti primi = 1 mod 4, e non serve certo tirare in causa i vari Chebyshev e Dirichlet per darne prova...

propongo la seguente:
Sia k il periodo allora prendo un numero primo p con 3tk cifre (esiste per postulato di Bertrand), e con t intero positivo sufficentemente grande da fare cadere il primo p fuori dall'antiperiodo.

E' facile vedere che p è multiplo di 3 quindi ottengo un assurdo.