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[Facile]
Sia $ x $ un numero razionale compreso tra $ 0 $ e $ 1 $.
Dimostrare che $ x $ si può sempre scrivere come somma di frazioni del tipo $ \frac{1}{n} $, con $ n $ naturale, dove i denominatori dei termini della somma sono tutti diversi. (Per esempio: $ \frac{2}{3}=\frac{1}{6}+\frac{1}{2} $).

se se ne possono usare anche infiniti, qualunque numero $ ~x\in [0;1) $ puo' essere rappresentato come $ \displaystyle \sum_1^\infty _k a_k2^{-k} $ con $ ~a_k\in\{0,1\} $. Il procedimento e' banale.

Già non ho precisato, chiedo scusa... intendevo un numero finito di addendi.

dicesi frazione egiziana
non hai motivo per scusarti.

jim ha scritto:[Facile]
Sia $ x $ un numero razionale compreso tra $ 0 $ e $ 1 $.
Dimostrare che $ x $ si può sempre scrivere come somma di frazioni del tipo $ \frac{1}{n} $, con $ n $ naturale, dove i denominatori dei termini della somma sono tutti diversi. (Per esempio: $ \frac{2}{3}=\frac{1}{6}+\frac{1}{2} $).

Rilancio [poco meno facile]: determinare il più piccolo k intero > 0 tale che ogni numero razionale nell'intervallo aperto (0,1) si possa sempre esprimere come somma di al più k frazioni egiziane.

solo per precisione: dicesi frazione egiziana la rappresentazione di un numero razionale positivo minore di 1 nella somma di frazioni unitarie tra loro differenti

quindi si cerca frazioni egiziane con k elementi.

Sicuramente k>3 (k=3 e' in pratica la Congettura di Erdős-Strauss)