OliForum Matematico

Ed ecco a voi un'altro problema inventato dal sottoscritto:

Prendiamo un dodecaedro con una faccia appoggiata a un piano. Poi appoggiamo sullo stesso piano 5 icosaedri, ognuno con un lato in comune a un lato del pentagono di appoggio (non lo stesso lato di un'altro) e con la faccia triangolare all'interno di tale pentagono (ovviamente tutti rivolti nello stesso verso del dodecaedro), è noto il lato l dell'icosaedro.
1) osservando il composto solido dall'alto (perpendicolarmente al piano di base), e immaginando di poter vedere all'interno del dodecaedro gli intrecci fra gli icosaedri, si osserva che dall'intreccioo dei lati delle faccie triangolari superiori di ciascun icosaedro di sono formate due stelle a cinque punte una interna all'altra. Trovare le aree di queste due stelle cercando si spiegarne la particolare conformazione.
2) internamente alla stella più grande (con l'incrocio dei suoi lati) si forma un poligono, dire di cosa si tratta e trovarne l'area.
3) internamente alla stella più piccola si forma un'altro poligono, trovarne l'area.
4) osservando tutta la superfice composta dalle superfici dei triangoli intrecciati superiori degli icosaedri si nota che è tutta piana tranne una piccala parte in mezzo in cui c'è una concavita verso l'interno. Dire che solido occorrebbe incastrarci affinche si riempia del tutto questa concavità e si formi un piano cmpleto. Trovare il volume di questo solido.
5) analogamente a prima si osserva il composto solido dal basso. Anche questa volta dall'intreccio dei lati si sono formate due stelle una interna all'altra. Trovare l'area di queste due stelle.
6) ancora con l'osservazione dal basso si nota che all'interno della stella più piccola causa le intersezioni delle due stelle si è formato un poligono. Dire di cosa si tratta e trovarne l'area.
7) confrontare le aree dei due poligoni osservati in precedenza nei punti 3) e 6) e calcolare il rapporto fra i lati.
E in fine...Trovare il volume e la superfice di tutto il solido composto.

Se avete dei dubbi non esitate a chiedere che ci sta che abbia sbagliato a scrivere qualcosa.

Comunque nel problema la geometria solida fa solo lo sfondo perchè in realtà 6 tesi su 8 sono di geometria piana

Soluzione olimpica o brutalmente calcolosa? visto le tue tendenze temo la seconda...

in questo caso tutto in tutto il solido c'è una simmetria particolare. Comunque cosa intendi per soluzione olimpica in un problema di geometria? Sicuramente non potrà mai essere un problema da olimpiadi delle prime fasi anche perchè richiede un po' di ragionamento e di tempo. Direi che la cosa più interessante è notare che c'è un certo rapporto fisso tra la vista dall'alto dell'incrocio degli icosaedri e la vista dal basso, proprio perchè entrambi i solidi hanno un centro di simmetria.

Con soluzione olimpica intendo dire se richiede un problem solving da olimpiadi anzichè calcoli e formule puramente scolastiche... ma mi sa che stavolta ci voglia un occhio fino per farlo

per fare 6 tesi occorre solo sapere un paio di proprietà del triangolo equilatero e del pentagono

E riuscire a vedere il solido... io non ci riesco

up

Gabriel, non l'hai ancora capito mche non siamo buoni ?
Per favore, posta te la soluzione che almeno riusciamo a capire come si fa...

Per risolvere quasi tutto il problema non occorre affatto immaginarsi il solido, quindi non è per nulla difficile. Dai, provateci!

Salva, che te non sei buono lo avevo già capito, ma magari c'è qualcun'altro che lo sa fare. Comunque vi aiuto un po', lo scrivo un bianco per chi non volesse suggerimenti:

per l'osservazione da basso basta costruire sui lati un pentagono 5 triangoli equilateri interni a esso che si intrecciano formando le due stelle e il poligono, mentre per quella dall'alto bisogna fare la simmetria centrale di ciascun triangolo equilatero mel suo centro e del pentagono nel suo centro ottenendo anche qui le due stelle. Per la tesi 4 bastano un paio di considerazioni sugli angoli diedri dell'icosaedro e per le ultime due fate voi
Comunque non so' se c'è un metodo decente per trovare il volume di tutto il solido, se non per somma di pezzi, che purtroppo non sono regolari

Ok, grazie dell'hint, ci proverò anche se per la geometria sono proprio negato

perchè non uppare vecchi ricordi?

(p.s. siccome sono tornati di moda gli icosaedri)