OliForum Matematico

Spero centri con le olimpiadi....

Data la funzione di densità de i probabilità $ f(x)=c(2-x)(x-3) $ con $ 2<x<3 $

Calcolare la densità di probabilità di $ Y=\sqrt X $

Dovrebbe essere così

$ P(2 \le X < 3) = F(3)-F(2) = \displaystyle\int_2^3 f(x) $

In questo caso ovrebbe diventare

$ P(\sqrt 2 \le \sqrt X < \sqrt 3) = F(\sqrt 3)-F(\sqrt 2) = \displaystyle\int_{\sqrt 2}^{\sqrt 3} f(x) $

Dopo di ceh risolvo normalmente l'integrale... è corretto?

No. $ P(\sqrt2\leq\sqrt X<\sqrt 3) $ è uguale a $ P(2\leq X< 3)=1 $ e poi ti si chiede la densità. Il primo integrale che citi (dovrebbe fare 1/6) ti dice che c=6, quindi $ f_X(x)=6(x-2)(3-x) $, $ 2<x<3 $.

Per trovare $ f_Y $ parti dalla funzione di ripartizione di Y, ovvero, per y positiva,

$ F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(\sqrt X\leq y)\\=P(0\leq X\leq y^2)=F_X(y^2)-F_X(0) $

Poi derivi

$ f_Y(y)=F'_Y(y)=\dfrac{d}{dy}F_X(y^2)=2yF'_X(y^2)=12y(y^2-2)(3-y^2) $, con $ \sqrt2<y<\sqrt3 $.

[L'argomento non c'entra nulla con le Olimpiadi, quindi ho spostato il thread]

Quindi la soluzione dovrebbe essere $ f_Y(y)=12(2-y^2)(y^2-e)y $ con $ \sqrt 2 \le y < \sqrt 3 $ ???

la y non ho bisogno di metterla in valore assoluto perchè $ y=\sqrt x $ giusto?

Allora... ho la funzione $ f(x,y)=Ke^{-\alpha x}e^{-\beta y} $ nel dominio $ 0<y<x<\infty $ devo vedere se le variabili $ x $ e $ y $ sono indipendenti... ma ad un certo punto mi blocco... i conti non mi tornano... ecco come ho svolto:

$ \displaystyle K: K*\int_0^{+\infty}\int_0^x e^{-\alpha x}e^{-\beta y} = 1 $

Alla fine ho trovato $ K=\alpha(\alpha+\beta) $ e ho dedotto che $ \alpha + \beta $ devono essere maggiori di $ 0 $ e $ \alpha $ maggiore di $ 0 $ ( mi dispace ma "maggiore" l'ho dovuto scrivere così.. se no il latex mi dava problemi)....

quindi $ F_{XY} (x,y) = \alpha(\alpha+\beta)e^{-\alpha x}e^{-\beta y} $

Ecco ora le variabili sono indipendenti se $ f_X(x) * f_Y(y) = f_{XY}(x,y) $.... trovo

$ f_X(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\alpha(\alpha+\beta)e^{-\alpha x}e^{-\beta y}dy =\frac{1}{\beta}\alpha(\alpha+\beta)e^{-\alpha x} $

e

$ f_Y(y)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\alpha(\alpha+\beta)e^{-\alpha x}e^{-\beta y}dx =(\alpha+\beta)e^{-\beta y} $

ora... ad occhi le variabili dovrebbero essere indipendenti eppure non si verifica quell'uguaglianza...


spero nel vostro aiuto... e vi ringrazio anticipatamente...

A occhio non sono proprio indipendenti. Se due v.a. sono indipendenti, il loro supporto (la regione dove la densità è strettamente positiva) è un sottoinsieme del piano che deve essere un prodotto cartesiano di due insiemi di R. Ad esempio $ a\leq x\leq b, c\leq y\leq d $ o $ x>0, 0<y\leq1 $. Il supporto della tua densità congiunta è un angolo del piano che non è un prodotto cartesiano. Quindi non stupisce che le v.a. non siano indipendenti.

P.S. Non ti ho controllato i conti.

ah... grazie... va beh i conti non mi importano l'importante è che il procedimento che seguo sia corretto...
Ma mi sono venuti dei dubbi... il dominio della mia funzione era $ 0<y<x<+\infty $... io l'ho diviso così $ y<x<+\infty $ e $ 0<y<+\infty $

ora per trovare $ f_X(x) $ e $ f_Y(y) $, gli integrali li devo definire tra questi estremi che ho scritto prima esatto??


e un ultima cosa... per calcolare la media $ Z= XY $ sempre di quella funzione ho usato la formula:

$ E[Z]=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} g(x,y) *f_{XY}(x,y)dxdy $

Nel mio caso:

$ g(x,y)= xy $ e $ f_{XY}(x,y)=\alpha(\alpha+\beta)e^{-\alpha x}e^{-\beta y} $ quindi

$ E[Z]=\displaystyle\int_0^{+\infty}\int_y^{+\infty} xy *\alpha(\alpha+\beta)e^{-\alpha x}e^{-\beta y}dxdy $

Spero sia corretta... grazie ancora..[/tex]