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Un polinomio con qualche coeff fissato e radici positive
Inviato: 24 nov 2006, 18:27
da Leblanc
Il polinomio $ a_8x^8 +a_7x^7 + ... + a_0 $ ha $ a_8 = 1 $, $ a_7 = -4 $, $ a_6 = 7 $ e tutte le sue radici sono reali positive. Trovare tutti i possibili valori per $ a_0 $.
Buon lavoro!
Inviato: 25 nov 2006, 14:25
da darkcrystal
La somma delle radici è 4 (chiamiamola S). Possiamo esprimere il coefficiente $ a_6=\frac{1}{2}(S^2-\sum a^2) $, da cui $ \sum a^2 = 2 $. Per QM-AM abbiamo $ (2/8)^{(1/2)} \geq 4/8 $ in cui vale esattamente l'uguaglianza, per cui sappiamo che tutte le radici sono uguali. Pertanto $ x_i=\frac{1}{2} \forall i $ (poichè la somma dà 4).
In questo caso, $ a_0=\frac{1}{2^8} $
Scusate se la soluzione è un po' approssimativa ma son di fretta... ciao!
Inviato: 25 nov 2006, 19:20
da enomis_costa88
In alternativa per mac laurin:
$ \displaystyle \frac{1}{2}= \frac{-a_7}{8}\ge\sqrt{\frac{a_6}{28}}=\frac{1}{2} $
l'uguaglianza è valida sse le radici sono tutte uguali.
Quindi sono tutte $ \frac{1}{2} $.
Quindi $ a_0= \prod_{i=1}^8 x_i=(\frac{1}{2})^8=\frac{1}{256} $