OliForum Matematico

Ciao sono bloccato in un problema:

devo dimostrare che:

date due funzioni f e g da R in R

sapendo che:

1-f e g sono continue
2-g(0)=0
3: f(T)=g(t)+g(T-t)-[(b^n)/n!]*[t^n+(T-t)^n]

con b reale positivo, n intero positivo, T reale positivo qualsiasi e t reale qualsiasi tale che 0<=t<=T

Allora dovremo avere per forza:

f(T)=0
g(t)=[(b^n)/n!]*(t^n)
g(T-t)=[(b^n)/n!]*[(T-t)^n]


Mi raccomando, non è detto che f e g siano derivabili!!!

Ho due richieste che dovresti soddisfare mosso a pietà verso di noi :
1) usa latex
2) metti i quantificatori (per ogni b, esiste un b, per ogni T, esiste un T, per ogni n, esiste un n, per ogni t, esiste un t ... quali di questi?)

Se comunque si intende che la formula 3 valga per ogni T, per ogni t in [0,T] e per un qualche b ed n, è veramente un esercizio carino!! Ed è praticamente olimpico...
per questo, anche se non lo sposto, lascio un suggerimento a solutori volonterosi.

Il Saggio ha scritto:Applicando la formula 3 a f(T) e a f(T+h) con opportuni t, la differenza f(T)-f(T+h) assume un aspetto particolarmente gradevole ...

OOOOOPs

Ok premetto delle scuse, purtroppo non ho la pazienza di imparare il Latex, ma vedrò di impararlo (o usare mathtype) dal prossimo post.

ho detto una boiata, sapete, f(T) non dev'essere per forza 0 .

Controesempio:

g(t)=[(b^n)/n!]*(t^n)+a*t

con a reale qualsiasi

g(T-t)=[(b^n)/n!]*[(T-t)^n]+a*(T-t)

g(t)+g(T-t)-[(b^n)/n!]*[t^n+(T-t)^n]=a*t+a*(T-t)=a*T=f(T)

Ora se volete posso riformulare l'esercizio:

sia data una funzione da R in R h(t) continua, due funzioni continue incognite f e g da R in R

Dimostrare che se per qualsasi T>0 e t in [0,T] si ha:

f(T)=g(t)+g(T-t)-h(t)-h(T-t)

allora dovremo avere per forza:

f(T)=a*T

g(t)=a*t+h(t)

con a reale qualsiasi

PS: In realtà quest'esercizio l'ho già risolto in un altro post, è un'"equazione funzionale", Hitleuler forse si ricorderà, gli ho scassato parecchio le scatole a proposito. Ricordate che è molto importante che f, g e h siano continue!!!

rargh ha scritto:non ho la pazienza di imparare il Latex, ma vedrò di impararlo (o usare mathtype) dal prossimo post.

No mathtype.
Sì LaTeX.

Vabbeh, nessuno se lo fila:
$ f(T)=g(T)-g(0)+h(T)-h(0) $ con $ t=T $
$ f(T+k)=g(T)-g(k)+h(T)-h(k) $ con $ t=T $
allora
$ f(T+k)-f(T)=g(0)+h(0)-g(k)-h(k)=w(k) $ non dipende da T.
Ora, $ w(k+k')=f(T+k+k')-f(T)=f(T+k+k') $$ -f(T+k)+f(T+k)-f(T)=w(k)+w(k') $

E dunque, w è continua e additiva, ma allora w(k)=ak per qualche a fissato, da ciò
g(T)=g(0)+h(0)-h(T)-w(T)
f(T)=-w(T)=-aT

se poi chiedi anche che h(0)=g(0)=0, hai proprio la tua tesi.