OliForum Matematico

Ritiro fuori tre esercizi tra gli ultimi 5 della coppa dello scorso anno, due dei quali sono stati risolti da pochissime squadre:

1)Bowling 1. Mettendo una palla sopra altre tre si crea una piramide a due strati. Mettendo questa piramide sopra sei palle si crea una piramide a tre strati, e così via. Quante palle ci vogliono in totale per la piramide a 25 strati?

2)Bowling 2. Se queste sfere hanno raggio R, quanto è alta la piramide a 25 strati?



3)Prisma rotante. Un prisma retto che ha per base un esagono regolare ruota intorno al suo asse a velocità costante. Anna di strova all'esterno del prisma e lo sta guardando. Per metà del tempo vede, sotto diversi angoli, tre facce del prisma: per l'altra metà del tempo ne vede soltanto due. Detto R il lato dell'esagono, a che distanza si trova Anna dall'asse del prisma?

1) Si noti che in cima ci sarà una palla, nello strato sottostante 3=2+1; in quello ancora sotto 6= 3+2+1 e così via. Generalizzando, nello strato n-esimo (contando dall'alto) vi saranno $ \frac{n(n+1)}2 $ palle. Ora è questione di puri calcoli algebrici. Forse era meglio postarlo in un'altra sezione questo...
Hint per il 3: si ipotizzi che sia fermo il prisma e in movimento circolare intorno ad esso la ragazza...

salva90 ha scritto:Generalizzando, nello strato n-esimo (contando dall'alto) vi saranno $ \frac{n(n+1)}2 $ palle.

Dimostrare!

salva90 ha scritto:Hint per il 3: si ipotizzi che sia fermo il prisma e in movimento circolare intorno ad esso la ragazza...

Può essere l'idea di partenza ma non è sufficiente per rendere scontato il problema.

Te lo dimostro: lo strato n-esimo viene un triangolo equilatero di lato n. Dovresti vederlo bene ora.
Per il 3 non era mia intenzione banalizzare, ma solo dare un suggerimento a chi (al contrario di me) ha voglia di (ri)mettersi a provarlo. Lo so che non è così semplice risolverlo, ma l'idea di base è questa

1)
Indichiamo con (a,b,c) rispettivamente l'altezza da terra, il numero di riga (su quello strato), il numero di colonna (su quella riga) di una (ogni) palla. Allora (se giriamo la piramide in qualche modo) $ 1 \le a \le b \le c \le 25 $, o anche $ 1 \le a < b+1 < c+2 \le 27 $., quindi le terne (a,b,c) sono in corrispondenza biunivoca con i sottoinsiemi di {1,...,27}.
Ma questi li possiamo contare in un modo più comodo. Il primo elemento lo scegliamo tra i 27 numeri, il secondo tra i 26 che restano, il terzo tra i 35 che restano, e ogni terna è contata esattamente 6 volte (6 sono i possibili ordinamenti).
Quindi la risposta è
$ \displaystyle {27 \choose 3} = \frac{27 \cdot 26 \cdot 25}{1 \cdot 2 \cdot 3} $