Media generalizzata

[bh3u4m]

Dato
$ m(p) = \left ( \frac { \sum_{i=1}^n a_i^p }{n} \right )^p $
Dimostrare che

• $ \lim_{p \to 0} m(p) = \sqrt[n] {a_1 \cdot a_2 \cdots a_n } $
• Per $ p \to \infty \qquad m(p) \to \max (a_1, \ldots, a_n) $
• La funzione e' crescente nella variabile p.

[SkZ]

temo che ci sia un errore nel secondo esponente
riscrivo in breve
$ m(p) = \langle a_i^p \rangle^\frac{1}{p} $

1) dato che $ $\lim_{p\rightarrow 0}a_i^p\approx 1+p\ln{a_i} $ $, allora
$ $\lim_{p\rightarrow 0}m(p)\approx \langle 1+p\ln{a_i} \rangle^\frac{1}{p}= \left( 1+ p \langle \ln{a_i}\rangle\right)^\frac{1}{p} $ $
dato che $ $\langle \ln{a_i}\rangle=\ln{GM(a_i)}$ $, il resto e' cosa nota

2)sia $ ~\hat{a}=\textrm{max}\{a_i\} $ e abbia frequenza $ ~m\le n $, $ $\lim_{p\rightarrow \infty}\langle a_i^p\rangle\approx \hat{a}^p\frac{m}{n} $ $, quindi $ $\lim_{p\rightarrow \infty}m(p)\approx \left(\hat{a}^p\frac{m}{n} \right)^\frac{1}{p}=\hat{a}\left(\frac{m}{n} \right)^\frac{1}{p}\approx\hat{a} $ $

3) se crescente allora $ $\langle a_i^{p+1} \rangle^\frac{1}{p+1}\ge \langle a_i^p \rangle^\frac{1}{p}$ $ quindi $ $\langle a_i^{p+1} \rangle\ge \langle a_i^p \rangle \langle a_i^p \rangle^\frac{1}{p}$ $
il resto a dopo che ho sonno