temo che ci sia un errore nel secondo esponente
riscrivo in breve
$ m(p) = \langle a_i^p \rangle^\frac{1}{p} $
1) dato che $ $\lim_{p\rightarrow 0}a_i^p\approx 1+p\ln{a_i} $ $, allora
$ $\lim_{p\rightarrow 0}m(p)\approx \langle 1+p\ln{a_i} \rangle^\frac{1}{p}= \left( 1+ p \langle \ln{a_i}\rangle\right)^\frac{1}{p} $ $
dato che $ $\langle \ln{a_i}\rangle=\ln{GM(a_i)}$ $, il resto e' cosa nota
2)sia $ ~\hat{a}=\textrm{max}\{a_i\} $ e abbia frequenza $ ~m\le n $, $ $\lim_{p\rightarrow \infty}\langle a_i^p\rangle\approx \hat{a}^p\frac{m}{n} $ $, quindi $ $\lim_{p\rightarrow \infty}m(p)\approx \left(\hat{a}^p\frac{m}{n} \right)^\frac{1}{p}=\hat{a}\left(\frac{m}{n} \right)^\frac{1}{p}\approx\hat{a} $ $
3) se crescente allora $ $\langle a_i^{p+1} \rangle^\frac{1}{p+1}\ge \langle a_i^p \rangle^\frac{1}{p}$ $ quindi $ $\langle a_i^{p+1} \rangle\ge \langle a_i^p \rangle \langle a_i^p \rangle^\frac{1}{p}$ $
il resto a dopo che ho sonno
