OliForum Matematico

Beccatevi questo esercizietto carino (ovviamente proposto a chi è ancora in età da Coppa Fermat e magari non l'ha già fatto):

Si prenda un cubo di 60 cm di lato e, considerando un vertice $ A $, si disegni il piano $ \alpha $ su cui giacciono gli altri estremi degli spigoli che partono da $ A $. Ora si unisca $ A $ col vertice opposto, percorrendo tutta una diagonale interna del cubo. Si determini la lunghezza, in mm, del segmento di diagonale compreso tra $ A $ ed $ \alpha $.

ma è facilissimo!
come tutti sanno il piano $ \alpha $ taglia il cubo un una piramide che se ottiplicata sul vertice si ottiene un ottaedro...
quindi la distanza non è altro che la metà dell'altezza dell'ottaedro (distanza fra due facce opposte):
per chi non lo sapesso l'altezza dell'ottaedro è come la metà dell'altezza di una piramide di lato doppio al suo quindi in funzione del lato è la stessa. L'altezza della piramide si trova con pitagora e viene $ h=l \frac {\sqrt{6}}3 $.
Quindi la sua metà è quello che cerchiamo; ora siccome il lato dell'ottaedro è la diagonale del cubo di lato 60 mm si ha che $ d=l \frac {\sqrt{3}}3 = 20{\sqrt{3} mm $

Con poche considerazioni geometriche si vede che il segmento è la terza parte della diagonale del cubo.

si è vero lo avevo notato anche io, ma va dimostrato

Beh, anche la tua di dimostrazione non è così impeccabile... Per un problema che non sembra poi così difficile fai costruzioni astruse ("ottiplichi" una piramide intorno a un vertice, dici che "l'altezza dell'ottaedro è come la metà dell'altezza di una piramide di lato doppio al suo" senza giustificarlo).

è il doppio per costrizione...immagina di ottublipare la piramide sul vertice A del cubi, cosi facendo occupi tutto il piano e ottieni chiaramente un ottaedro siccome il solido a 8 facce.

Ragazzi vi state complicando la vita, come dice Mindflyer si fa in un secondo... Basta un'osservazione e un calcolo... vi ricordo che non è richiesta la dimostrazione!

I fanatici lo potrebbero fare con l'analitica nello spazio a tre dimensioni, ma è da pazzi. Perchè tendiamo a scartare la soluzione più semplice?

se non è richiesta la dimostrazione è ovvio che si fa così comunque per scopo informativo io l'ho messa e non fa male...