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L'ennesima disuguaglianza
Inviato: 01 dic 2006, 16:12
da pi_greco_quadro
Dunque siano $ a,b,c $ i soliti reali positivi
Si dimostri che
$ \displaystyle \frac{(a+b+c)^2}{3}\geq a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}+c\sqrt{ab} $
Inviato: 01 dic 2006, 16:53
da pic88
siano x, y e z le radici.
$ (x^2+y^2+z^2)^2 \geq 3(x^2yz+...) $
$ \[\displaystyle
\sum\limits_{{\rm sym}} {x^4 } + 2\sum\limits_{{\rm sym}} {x^2 y^2 } \ge 3\sum\limits_{{\rm sym}} {x^2 yz}
\]
$
bunching
EDIT: si può anche fare con chebyshev
Inviato: 02 dic 2006, 14:30
da darkcrystal
Riparto dalla sostituzione che ha fatto pic88.
$ \displaystyle \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{9} \geq xyz(\frac{x+y+z}{3}) $
$ (\frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{9})^{(1/4)} \geq (xyz(\frac{x+y+z}{3}))^{(1/4)} $
Che possiamo scrivere come $ QM \geq (GM^3*AM)^{(1/4)} $
Ma del resto sappiamo che $ (GM^3*AM)^{(1/4)} \leq (AM^4)^{(1/4)}=AM \leq QM $
Ciao!