'ste cavolo di matricole (ovvero serie non ass. conv.)

[EvaristeG]

Ovviamente non è colpa di Simo e di chi altri stava pensando a quel problema, è colpa mia che mi son voluto fare un po' di ca**i loro e poi mi son fatto prendere dalla questione ...

Allora, sia $ \{z_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{C} $ una successione di numeri complessi la cui serie sia non assolutamente convergente, ovvero tale che $ \displaystyle{\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n|z_n|=+\infty} $, ma che però converga, ovvero tale che esista finito $ \displaystyle{\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nz_n} $.
Un riordinamento di una serie è semplicemente una bigezione $ \sigma:\mathbb{N}\to\mathbb{N} $ a cui si associa ovviamente la serie $ \displaystyle{\sum_{k=1}^\infty z_{\sigma(k)}} $.
E' teorema noto che se una serie convergente di numeri reali non converge assolutamente può essere riordinata in modo da ottenere come somma qualunque numero reale (esempio : 1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+...=log2, mentre (1-1/2-1/4)+(1/3-1/6-1/8)+(1/5-1/10-1/12)+...=log2/2 -credo-).
Ora, che succede sui complessi? Beh, più o meno si ottiene lo stesso risultato...ora se mi date la manina, vi porto alla dimostrazione.

1. Dimostrare che esiste una costante K tale che, per ogni n-upla $ z_1,\ldots,z_n $ di numeri complessi di modulo $ \le1 $ e tali che $ z_1+\ldots+z_n=0 $, esiste una permutazione $ \sigma $ (con $ \sigma(1)=1 $) tale che
$ \left|\sum_{k=1}^pz_{\sigma(k)}\right|<K $
per ogni p tra 1 e n.
(Se proprio volete, credo che l'ottimale sia $ K=\sqrt{5} $, ma non penso sia indispensabile).

2. Sia $ S_m=\sum_{k=1}^mz_k $ l'm-esima somma parziale e sia $ \{m_i\}_{i\in\mathbb{N}} $ una sottosuccessione di indici tale che $ S_{m_i}\to L\in\mathbb{C} $, allora esiste un riordinamento $ \sigma_L $ tale che
$ \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty z_{\sigma_L(n)}=L $

3. Sia ora $ A=\{\sum_{n}z_{\sigma(n)}|\sigma\in\mathcal{S}(\mathbb{N})\} $ l'insieme di tutti i possibili valori ottenuti per riarrangiamento dalla serie iniziale. Dimostrare che se $ 0,z,w\in A $, allora anche $ z+w\in A $.
Dedurre quindi che se $ z,w,v\in A $, allora $ (z-v)+(w-v)\in A $.

4.(*) Mostrare che se $ 0,z\in A $, allora $ tz\in A $ per ogni t reale. Dedurne che se $ z,w\in A $, allora $ t(z-w)\in A $ per ogni t reale.

Dunque l'insieme dei possibili valori è : un punto, una retta, tutto il piano.
Inoltre, vale la seguente:

5. (**) Condizione necessaria e sufficiente affinchè l'insieme dei valori di convergenza sia tutto il piano è che per ogni numero complesso w si abbia
$ \sum_{n}(z_n,w)^+=\infty $ e $ \sum_{n}(z_n,w)^-=\infty $
dove $ (z,w)=z\overline{w}+w\overline{z} $ e si intende $ a^+=\max\{a,0\} $, $ a^-=\max\{-a,0\} $.
Se c'è un complesso w che non soddisfa questa condizione, A sarà contenuto in una retta perpendicolare a w.

[Nonno Bassotto]

Ma non basta considerare parte reale e immaginaria e fare i casi (entrambe assolutamente convergenti, una sì e una no, nessuna delle due)?

[EvaristeG]

Hmm prova e poi ti dico, ma secondo me no.
Es : $ \sum_{n}\left(\frac{(-1)^{n+1}}{n}+i\frac{1}{2^n}\right) $
$ \sum_{n}\left(\frac{(-1)^{n+1}}{n}+i\frac{(-1)^{n+1}}{n}}\right) $
Nel primo caso una parte conv. ass. e l'altra no, nel secondo caso nessuna delle due converge assolutamente, ma in entrambi i casi il luogo di convergenza è una retta. Ma forse non ho capito cosa vuoi dire.