OliForum Matematico

Il circuito in figura rappresenta una rete di resistenze R tutte uguali fra loro. Una corrente i=16 A entra nel nodo N ed esce dal nodo S.
Qual'è l'intensità di corrente che circola nel ramo PQ?

Beh, adesso magari dico la cacchiata, ma mi sembra una semplice applicazione della legge di Kirchhoff dei nodi... Siccome la corrente entrante in un nodo deve essere pari a quella uscente, rispetto al nodo N, lungo le due resistenze "in verticale" transiteranno 8 A di corrente... Analogamente, nel ramo PQ dovrò avere la stessa corrente che c'è nel ramo orizzontale che parte dal nodo P... Quindi ancora divido per 2 (siccome nel circuito le resistenze sono tutte uguali, e la tensione sarà pure costante a 220V, non essendo specificato altrimenti) e ottengo 4 A di corrente nel ramo PQ. Giusto?

Sei andato un pò troppo di fretta Ponnamperuma...anch'io inizialmente l'avevo risolto così...ma il mio professore (o meglio il libro da cui l'ha preso!) dà un altro risultato...ma senza riuscire a motivarlo...ecco perchè l'ho postato, sperando che qualcuno mi potesse aiutare...
Con il tuo ragionamento penso che non consideri il fatto che la resistenza PQ e quella centrale sono in serie...sbaglio?

Già, penso tu abbia ragione, anzi, forse andrebbe considerata anche la resistenza che dal nodo Q va in basso a sinistra... Devo pensarci...

nel nodo P la corrente nn puo dividersi in modo uguale perché incontra resistenze diverse...per questo motivo la soluzione non può essere 4 A...

Secondo il mio ragionamento viene di 2,67 A. ho fatto così: in N la corrente si divide in parti uguali ma in P no perchè le resistenze non sono uguali nei due rami in parallelo. infatti nel tratto ramo superiore la resistenza è R, mentre in quello inferiore è 2R perchè ci sono due resistenze in serie. Poichè la ddp è uguale nei due rami, si può scrivere che $ RI_1=2RI_2 $, con $ I_1+I_2=8 $. svolgendo i calcoli viene $ I_1=5,33 A $ e $ I_2=2,67 A $.
N.B: considerate le mie conoscenze dei circuiti quello scritto sopra potrebbe essere una grande cazz..a. se così fosse ignorate tutto
ciao

Efftettivamente il circuito è un po' ostico, ma numericamente mi sento di appoggiare il risultato di Ponnamperuma, anche se il procedimento non ha molto senso...

Siccome giustamente nel nodo N la corrente si divide a metà, e le resistenze sopra e sotto sono uguali, è chiaro che il punto P e il suo simmetrico (che chiamo R) sono allo stesso potenziale, quindi i due nodi P e R possono essere considerati coincidenti.
Ora, la corrente si divide in tre rami:
ramo 1) quello in alto di resistenza totale uguale a R
ramo 2) quello centrale che ha un parallelo delle due resistenze "oblique" nella figura, il quale è in serie ad un'altra resistenza: la resistenza totale è dunque 1,5R
ramo3) quello in basso di resistenza totale uguale a R

Chiamando i1,i2,i3 le tre correnti, si ha
(1) R1*i1=R2*i2=R3*i3
(2) i1+i2+i3=16 (legge dei nodi già citata)

visto che i1=i3, otteniamo 2*i1+i2=16
dalla (1) inoltre R1*i1=R2*i2 da cui i1=1,5*i2

si conclude quindi i2=4A

Spero di non aver fatto stupidate (cosa molto probabile, visto che hai detto che era sbagliato), in effetti nemmeno io sono propriamente un mago dei circuiti...

@robbieal: mi sembra che tu non abbia considerato che in Q convergono due rami diversi, quindi hai un po' "semplificato" il circuito.

già in effetti avevo interpretato male il circuito... facciamo finta che è stata colpa dell'orario . rivedendolo adesso però mi sembra che il ragionamento di MateCa non faccia una grinza, quindi la corrente è proprio 4 A. che si sia sbagliato il libro???

La tua risoluzione è quasi esatta MateCa, c'è solo un errore alla fine...

Come dici tu, infatti, i2=4A, ma questa è la corrente che passa complessivamente nel ramo 2, cioè in R2, la resistenza equivalente alle due in parallelo più quella in serie...e questa corrente non è quella richiesta dal problema, che chiedeva la corrente nel tratto PQ, che non è i2...no?

Il risultato del libro era 2A

a me viene 2A, aspettate un attimo che cerco di scrivere la soluzione (che è un po' complicata e sicuramente non è quella ottimale) in un modo decente

dunque, chiamo il vertice in basso a sinistra A

il gruppo formato dalle tre resistenze PQ, AQ e QS è in parallelo con ciascuna delle resistenze PS e AS.
Poi, PQ è in parallelo con AQ (perchè il potenziale in A e P è lo stesso), e la loro resistenza equivalente è in serie con QS.
in totale il trio PQ, AQ e QS ha come resistenza equivalente 3/2 (questa resistenza la chiamo Req). poichè la corrente totale che passa attraverso PS, AS e Req deve essere 16, e poichè questa si deve dividere inversamente alle resistenze, con un paio di conti trovo che la corrente che passa attraverso Req deve essere 4A, e quindi per simmetria quella che passa per Pq è 2A.

spero di essere stato chiaro anche se dubito, non mi piace molto questa soluzione.

Scusate, non avevo letto bene il testo
Ecco perchè non tornavano i conti...

iPQ quindi vale 2A (per la legge dei nodi applicata in Q e per una questione di simmetria)

@memedesimo: direi che è chiarissimo, concordo pienamente

ah non avevo letto la soluzione di MateCa, che sostanzialmente è uguale alla mia, tranne che alla fine si è dimenticato di dividere per due il risultato (lo si deve fare perchè la resistenza eq presuppone PQ e AQ in parallelo, cioè I2 è la somma delle correnti in PQ e AQ)

io l'ho risolto in modo semplice e analitico applicando in primo luogo la legge delle maglie a PQS (1) e quindi aggiungendo le informazioni derivanti dall'applicazione della legge dei nodi su Q (2) e su S (3). La simmetria della rete semplifica molto il problema.

praticamente viene:

R I_PQ + R I_QS = R I_PS (1)
si possono subito eliminare le R che sono tutte uguali

2I_PQ = I_QS (2)
2I_PS + I_QS = I_tot (3)

sostituendo I_QS ricavato dalla (2) nella (3) si ottiene l'equazione

2I_PS + 2I_PQ = I_tot (2/3)

quindi si sostituiscono nella (1) i risultati della (2) e della (2/3) ottenendo:

8I_PQ = I_tot

da cui:

I_PQ = 16/8 A = 2A

Sperando di non aver sbagliato a trascrivere qualche lettera, saluto tutti!