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2^n=7x^2+y^2
Inviato: 05 dic 2006, 17:42
da salva90
Questo non è banale:
Si dimostri che se $ n>3 $ allora è sempre possibile trovare due interi dispari $ x,y $ tali che $ 2^n=7x^2+y^2 $
Re: 2^n=7x^2+y^2
Inviato: 05 dic 2006, 19:15
da Santana
salva90 ha scritto:Questo non è banale:
Si dimostri che se $ n>3 $ allora è sempre possibile trovare due interi dispari $ x,y $ tali che $ 2^n=7x^2+y^2 $
è un problema molto bello, che posi io stesso in questo forum parecchio tempo fa...
la mia soluzione
http://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=10780
chi è interessato a risolverlo non guardi!
Inviato: 24 feb 2007, 23:39
da salva90
Sì, è veramente carina la soluzione. Io ho interpretato il problema in maniera leggermente differente dalla tua.
Dai, chi ci prova? Non vale sbirciare la soluzione proposta nel link
UP!!!!!!!!!!!!!
Inviato: 25 feb 2007, 15:29
da piever
Ahem, forse la mia induzione non e' la soluzione carina di cui si parlava sopra, ma vabbeh...
PASSO BASE:
Esistono a,b interi dispari e congrui tra loro modulo 4 tali che:
$ a^2+7b^2=8 $
Banalmente a=b=1
PASSO INDUTTIVO:
Ora siano a,b interi dispari e congrui tra loro modulo 4 tali che:
$ a^2+7b^2=2^n $
Abbiamo (facile identita' algebrica) la seguente cosa:
$ (\frac{a-7b}{2})^2+7(\frac{a+b}{2})^2=2^{n+1} $
Resta da dimostrare:
A) $ \frac{a-7b}{2}\equiv \frac{a+b}{2} \pmod 4 $
ovverosia: $ a-7b\equiv a+b \pmod 8 $ che e' banalmente vera in quanto $ 0\equiv 8b \pmod 8 $ per qualunque b intero
B) $ \frac{a+b}{2}\equiv 1\pmod 2 $
(il fatto che a quel punto $ \frac{a-7b}{2}\equiv 1\pmod 2 $ segue per il punto A)
la tesi B) equivale a $ a+b\equiv 2\pmod 4 $ che e' vera in quanto per ipotesi $ a-b\equiv 0\pmod 4 $ e $ 2b\equiv 2\pmod 4 $
FINE