Disuguaglianza facile

[Pigkappa]

Trovare la miglior costante C per cui si abbia:

$ (x-y)(2y-x) \leq Cxy $

Con x,y numeri reali tali che $ 0 \leq y \leq x \leq 2y $

[Ponnamperuma]

Ci provo... sebbene non sia convinto del fatto che, come ho supposto, C debba essere un intero non negativo... Comunque...

Svolgendo le parentesi e riordinando un po' ottengo
$ (3-C)xy \leq x^2+2y^2 $. Ora mi chiedo: può essere che C valga 0? Se sì, avrei finito...
Con $ C=0 $ avrei $ 3xy \leq x^2+2y^2 $, che è vera per GM-QM sulla terna $ (x,y,y) $, visto che, evidentemente, $ 3xy \leq 3xy^2 $.

Fatemi sapere...

EDIT: Ritratto tutto... cavolata... vedere oltre...

[salva90]

No un momento sostituendo nel testo verrebbe $ LHS\le0 $, che non è possibile per le condizioni poste
Ponnamperuma, mi sa che hai preso na cantonata stavolta

[salva90]

Cioè? sono perplesso

[Pigkappa]

Ci provo... sebbene non sia convinto del fatto che, come ho supposto, C debba essere un intero non negativo... Comunque...

Svolgendo le parentesi e riordinando un po' ottengo
$ (3-C)xy \leq x^2+2y^2 $. Ora mi chiedo: può essere che C valga 0? Se sì, avrei finito...
Con $ C=0 $ avrei $ 3xy \leq x^2+2y^2 $, che è vera per GM-QM sulla terna $ (x,y,y) $, visto che, evidentemente, $ 3xy \leq 3xy^2 $.

Fatemi sapere...

x=3/2, y=1 sono una controprova. C=0 non va bene (mi sa che GM-QM l'hai usata male).

Comunque ci sei vicino

[Zok]

Allora siccome $ y\leq x\leq 2y $ poniamo che $ x=ky $ con k reale e quindi $ 1\leq k\leq 2 $.
Andando a sostituire nel $ x=ky $ nel $ LSH $ otteniamo $ y^2(k-1)(2-k) $
Tentiamo ora di scoprire qual'è il massimo valore che tale espressione può assumere in funzione di $ k $ (visto che la y è fissata).
$ (k-1)(2-k) $ è una "parabola" con la concavità verso il basso che ha il vertice (e quindi il massimo) nel punto di ascissa 3/2.
Quindi $ LSH $ assume il valore massimo quando $ \displaystyle k =\frac{3}{2} $.
Andando a sostituire 3/2 al posto di k, otteniamo
$ \displaystyle \frac{1}{4}y^2 \leq \frac{1}{2}Cy^2 $ da cui $ \displaystyle C\geq \frac{1}{2} $

P.S. Spero si intendesse questa come la miglior costante C!!!

[robbieal]

io l'ho fatta così, ma mi sembra un po' troppo facile... quindi ho sicuramente sbagliato qualcosa. ma ci provo lo stesso.

allora facendo un po' di calcoli e riordinando viene $ 0 \leq x^2+2y^2+xy(C-3) $. il membro di destra si può facilmente ridurre ad un quadrato di binomio scegliendo $ C-3=\pm2\sqrt2 $. infatti diventa $ 0\leq(x\pm\sqrt2y)^2 $ che è vera per ogni valore di x e y. quindi la disuguaglianza vale sicuramente almeno per $ C=2\sqrt2+3 $ o $ C=-2\sqrt2+3 $

adesso potete pure correggermi
ciao

[Pigkappa]

io l'ho fatta così, ma mi sembra un po' troppo facile... quindi ho sicuramente sbagliato qualcosa. ma ci provo lo stesso.

allora facendo un po' di calcoli e riordinando viene $ 0 \leq x^2+2y^2+xy(C-3) $. il membro di destra si può facilmente ridurre ad un quadrato di binomio scegliendo $ C-3=\pm2\sqrt2 $. infatti diventa $ 0\leq(x\pm\sqrt2y)^2 $ che è vera per ogni valore di x e y. quindi la disuguaglianza vale sicuramente almeno per $ C=2\sqrt2+3 $ o $ C=-2\sqrt2+3 $

adesso potete pure correggermi
ciao

Sì, anche a me viene lo stesso risultato. Io avevo cercato il minimo di $ x^2+2y^2 $ con QM-GM e mi viene esattamente uguale.

Però ora che ci penso... Facendo così abbiamo considerato la condizione che vuole x compreso tra y e 2y?

[robbieal]

forse sbaglio io, ma se la costante vale per ogni valore di x e y, perchè non dovrebbe valere anche per i valori di x compresi tra y e 2y?

[Pigkappa]

forse sbaglio io, ma se la costante vale per ogni valore di x e y, perchè non dovrebbe valere anche per i valori di x compresi tra y e 2y?

Per i valori di x tra y e 2y può darsi che ci sia una costante che funziona ancora più grande... Forse è giusto l'1/2 di Zok tra y e 2y. Se si estende a tutti i reali sicuramente comunque 3-2sqrt2

[Ponnamperuma]

Scusate, è che non ne ho mai fatti con la costante da determinare... intanto, se non è specificato altrimenti, va intesa reale? Comunque sì, ho preso una cantonata... del resto me l'aspettavo...

Ciao!

[salva90]

Bastava una piccola verifica per accorgersi che avevi toppato! (forse l'hai fatto per mantenere fede alla firma?)
Comunque sostituendo nel testo (come ho fatto io) C=0 ti accorgevi che non funzionava

[Ponnamperuma]

Bastava una piccola verifica per accorgersi che avevi toppato! (forse l'hai fatto per mantenere fede alla firma?)
Comunque sostituendo nel testo (come ho fatto io) C=0 ti accorgevi che non funzionava

Ok, hai ragione, non me ne sono accorto... in fondo, però, mica ho bestemmiato... ero di fretta e ho dato una risposta frettolosa... pazienza... mica pretendo di aver ragione nonostante il palese errore!...

[salva90]

Figurati. Se contassi le mie di stupidate ci faresti un libro...
Comunque era facile esser tratti in inganno da quel 'migliore'

[Boll]

Ragazzi, talvolta la finezza va lasciata da parte...

Consideriamo $ y $ come un parametro e facciamo muovere $ x $.

$ $ f(x)=\frac{(x-y)(2y-x)}{xy} $
$ $ f'(x)=\frac{2y^2-x^2}{x^2y} $
$ $ f''(x)=\frac{-4y}{x^3} $

quindi la funzione, ricordando le condizioni sulle due variabili, è concava... Come noto (immagino abbia ragioni profondissime comunque è straintuitivo e basta fare il disegno per capirlo) una funzione concava ha un massimo locale in un intervallo o in uno dei due estremi o nel punto in cui si annulla la derivata prima (se tale punto sta nell'intervallo).

La nostra simpatica derivata prima si annulla due volte, nei punti $ (\sqrt{2}y,y) $ e $ (-\sqrt{2}y,y) $ tuttavia il secondo di questi punti non è accettabile perchè $ -\sqrt{2}y $ non è positivo e non sta nemmeno fra $ y $ e $ 2y $. Il primo punto, invece, $ (\sqrt{2}y,y) $ soddisfa sia la condizione di annullamento della derivata che la condizione sull'intervallo (2>sqrt(2)>1). Quindi possiamo concludere che tale punto realizza il massimo. Ora non ci resta che sostituire per avere il valore numerico che sarà, appunto

$ C=3-2\sqrt{2} $