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Trovare la miglior costante C per cui si abbia:

$ (x-y)(2y-x) \leq Cxy $

Con x,y numeri reali tali che $ 0 \leq y \leq x \leq 2y $

Ci provo... sebbene non sia convinto del fatto che, come ho supposto, C debba essere un intero non negativo... Comunque...

Svolgendo le parentesi e riordinando un po' ottengo
$ (3-C)xy \leq x^2+2y^2 $. Ora mi chiedo: può essere che C valga 0? Se sì, avrei finito...
Con $ C=0 $ avrei $ 3xy \leq x^2+2y^2 $, che è vera per GM-QM sulla terna $ (x,y,y) $, visto che, evidentemente, $ 3xy \leq 3xy^2 $.

Fatemi sapere...

EDIT: Ritratto tutto... cavolata... vedere oltre...

No un momento sostituendo nel testo verrebbe $ LHS\le0 $, che non è possibile per le condizioni poste
Ponnamperuma, mi sa che hai preso na cantonata stavolta

Cioè? sono perplesso

Ponnamperuma ha scritto:Ci provo... sebbene non sia convinto del fatto che, come ho supposto, C debba essere un intero non negativo... Comunque...

Svolgendo le parentesi e riordinando un po' ottengo
$ (3-C)xy \leq x^2+2y^2 $. Ora mi chiedo: può essere che C valga 0? Se sì, avrei finito...
Con $ C=0 $ avrei $ 3xy \leq x^2+2y^2 $, che è vera per GM-QM sulla terna $ (x,y,y) $, visto che, evidentemente, $ 3xy \leq 3xy^2 $.

Fatemi sapere...

x=3/2, y=1 sono una controprova. C=0 non va bene (mi sa che GM-QM l'hai usata male).

Comunque ci sei vicino

Allora siccome $ y\leq x\leq 2y $ poniamo che $ x=ky $ con k reale e quindi $ 1\leq k\leq 2 $.
Andando a sostituire nel $ x=ky $ nel $ LSH $ otteniamo $ y^2(k-1)(2-k) $
Tentiamo ora di scoprire qual'è il massimo valore che tale espressione può assumere in funzione di $ k $ (visto che la y è fissata).
$ (k-1)(2-k) $ è una "parabola" con la concavità verso il basso che ha il vertice (e quindi il massimo) nel punto di ascissa 3/2.
Quindi $ LSH $ assume il valore massimo quando $ \displaystyle k =\frac{3}{2} $.
Andando a sostituire 3/2 al posto di k, otteniamo
$ \displaystyle \frac{1}{4}y^2 \leq \frac{1}{2}Cy^2 $ da cui $ \displaystyle C\geq \frac{1}{2} $

P.S. Spero si intendesse questa come la miglior costante C!!!

io l'ho fatta così, ma mi sembra un po' troppo facile... quindi ho sicuramente sbagliato qualcosa. ma ci provo lo stesso.

allora facendo un po' di calcoli e riordinando viene $ 0 \leq x^2+2y^2+xy(C-3) $. il membro di destra si può facilmente ridurre ad un quadrato di binomio scegliendo $ C-3=\pm2\sqrt2 $. infatti diventa $ 0\leq(x\pm\sqrt2y)^2 $ che è vera per ogni valore di x e y. quindi la disuguaglianza vale sicuramente almeno per $ C=2\sqrt2+3 $ o $ C=-2\sqrt2+3 $

adesso potete pure correggermi
ciao

robbieal ha scritto:io l'ho fatta così, ma mi sembra un po' troppo facile... quindi ho sicuramente sbagliato qualcosa. ma ci provo lo stesso.

allora facendo un po' di calcoli e riordinando viene $ 0 \leq x^2+2y^2+xy(C-3) $. il membro di destra si può facilmente ridurre ad un quadrato di binomio scegliendo $ C-3=\pm2\sqrt2 $. infatti diventa $ 0\leq(x\pm\sqrt2y)^2 $ che è vera per ogni valore di x e y. quindi la disuguaglianza vale sicuramente almeno per $ C=2\sqrt2+3 $ o $ C=-2\sqrt2+3 $

adesso potete pure correggermi
ciao

Sì, anche a me viene lo stesso risultato. Io avevo cercato il minimo di $ x^2+2y^2 $ con QM-GM e mi viene esattamente uguale.

Però ora che ci penso... Facendo così abbiamo considerato la condizione che vuole x compreso tra y e 2y?

forse sbaglio io, ma se la costante vale per ogni valore di x e y, perchè non dovrebbe valere anche per i valori di x compresi tra y e 2y?

robbieal ha scritto:forse sbaglio io, ma se la costante vale per ogni valore di x e y, perchè non dovrebbe valere anche per i valori di x compresi tra y e 2y?

Per i valori di x tra y e 2y può darsi che ci sia una costante che funziona ancora più grande... Forse è giusto l'1/2 di Zok tra y e 2y. Se si estende a tutti i reali sicuramente comunque 3-2sqrt2

Scusate, è che non ne ho mai fatti con la costante da determinare... intanto, se non è specificato altrimenti, va intesa reale? Comunque sì, ho preso una cantonata... del resto me l'aspettavo...

Ciao!

Bastava una piccola verifica per accorgersi che avevi toppato! (forse l'hai fatto per mantenere fede alla firma?)
Comunque sostituendo nel testo (come ho fatto io) C=0 ti accorgevi che non funzionava

salva90 ha scritto:Bastava una piccola verifica per accorgersi che avevi toppato! (forse l'hai fatto per mantenere fede alla firma?)
Comunque sostituendo nel testo (come ho fatto io) C=0 ti accorgevi che non funzionava

Ok, hai ragione, non me ne sono accorto... in fondo, però, mica ho bestemmiato... ero di fretta e ho dato una risposta frettolosa... pazienza... mica pretendo di aver ragione nonostante il palese errore!...

Figurati. Se contassi le mie di stupidate ci faresti un libro...
Comunque era facile esser tratti in inganno da quel 'migliore'

Ragazzi, talvolta la finezza va lasciata da parte...

Consideriamo $ y $ come un parametro e facciamo muovere $ x $.

$ $ f(x)=\frac{(x-y)(2y-x)}{xy} $
$ $ f'(x)=\frac{2y^2-x^2}{x^2y} $
$ $ f''(x)=\frac{-4y}{x^3} $

quindi la funzione, ricordando le condizioni sulle due variabili, è concava... Come noto (immagino abbia ragioni profondissime comunque è straintuitivo e basta fare il disegno per capirlo) una funzione concava ha un massimo locale in un intervallo o in uno dei due estremi o nel punto in cui si annulla la derivata prima (se tale punto sta nell'intervallo).

La nostra simpatica derivata prima si annulla due volte, nei punti $ (\sqrt{2}y,y) $ e $ (-\sqrt{2}y,y) $ tuttavia il secondo di questi punti non è accettabile perchè $ -\sqrt{2}y $ non è positivo e non sta nemmeno fra $ y $ e $ 2y $. Il primo punto, invece, $ (\sqrt{2}y,y) $ soddisfa sia la condizione di annullamento della derivata che la condizione sull'intervallo (2>sqrt(2)>1). Quindi possiamo concludere che tale punto realizza il massimo. Ora non ci resta che sostituire per avere il valore numerico che sarà, appunto

$ C=3-2\sqrt{2} $