Campi di spezzamento
Inviato: 19 dic 2006, 16:00
Dimostrare che se $ p \equiv 1 \pmod{4} $ allora $ \sqrt{p} $ è nel campo di spezzamento di $ x^p-1 $
Evviva i cannoni :
Se L è il campo di spezzamento di quel polinomio sui razionali, si sa che il discriminante dell'estensione L/Q è $ \pm p^{p-2} $ con il + quando p==1 (4) e con il - altrimenti; del resto si sa pure che il discriminante è dato da $ \displaystyle{\prod_{1\le i<j\le p}(\zeta_p^i-\zeta_p^j)^2} $, la cui radice quadrata sta ovviamente in L.
Quindi $ \sqrt{\pm p^{p-2}}\in L $ e dunque $ \sqrt{\pm p}\in L $ con le condizioni sui segni già enunciate.