OliForum Matematico

Salve a tutti!!

Sarei molto riconoscente se qualcuno più competente di me potesse risolvermi un dubbio. Allora prendiamo una funzione $ y=f(x) $ e indichiamo la sua derivata con $ \frac{dy}{dx} $ come voleva il buon Leibniz. Ora mi chiedo, ma questo modo per indicare la derivata è una semplice notazione tirata fuori dal cappello oppure la derivata è una vera e propria frazione, un rapporto tra differenziali?

Il Courant-Robbins dice in merito che "La notazione di Leibniz offre il vantaggio che i limiti dei rapporti incrementali e delle somme possono essere in certo senso trattati <<come>> fossero effettivamente rapporti o somme..." Insomma questo non fa luce sulla la questione. Su un altro libro ho letto che la derivata è solo "formalmente" un rapporto di differenziali (e intanto vai con le semplificazioni!!!).

Continuando a spulciare di qua e di là ho solo aumentato la confusione che già avevo indi ho deciso di rivolgermi al forum e spero che possiate chiarirmi le idee.

Grazie e saluti

Ciao Luca. No, non ti consiglio di fidarti delle semplificazioni allegre che la notazione potrebbe suggerirti: le sorprese sono sempre dietro l'angolo.

La cosa migliore è attendere quando avrai modo di approfondire la teoria del Calcolo a dovere. Solo quando avrai le nozioni che ci stanno dietro, ti saranno chiari il perché e il percome le "semplificazioni" miracolistiche funzionano (e in quali casi funzionano).

Per ora, accontentati di sapere che la divisione di un differenziale per un altro non ha senso e che $ \frac{d}{dx} $ è un modo buffo per scrivere "deriviamo rispetto a x" (esattamente come $ \int f(x) \ dx $ è un modo buffo per dire "calcoliamo l'antiderivata").

Prendiamo un'equazione differenziale a variabili separate e.g.

$ y'=2xy $

Il mio libro da scuola superiore a questo punto consiglia di sostituire $ y'=\frac{dy}{dx} $ e quindi (moltiplicando per un differenziale!!) ridurla a:

$ dy=2xy \, dx $

$ \frac{dy}{y}=2x \, dx $

da cui si integra e bla bla bla...

Ma quindi questo procedimento è un errore formale? (Se lo è mi sembra abbastanza grave per un libro di testo!)

Grazie ancora!

in realtà quell'equazione diventa:
$ \displaystyle \frac{y'}{y} = 2x $ e integrando (per $ y(x) \neq 0 $)
$ \displaystyle \int \frac{y'}{y}dx = \int 2x dx $. Poichè abbiamo $ y = y(x) $ l'integrale al primo membro diventa - dal momento che al numeratore abbiamo la derivata -
$ \log y = x^2 + c $ da cui
$ y=e^{x^2+c} $

poi si studia quando si annulla in almeno un punto.. e quando è sempre nulla..

Credo che questo sia più o meno il metodo..

Sì, in realtà diventa $ \log |y|=e^{x^2+c} $ ma a me non interessava la soluzione dell'equazione quanto il metodo.

Grazie comunque

mark86 ti ha dato la versione corretta del procedimento
quella coi differenziali e' un pratico artifizio, che per le funzioni "comuni" funziona benissimo