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disuguaglianza caruccia
Inviato: 14 gen 2007, 11:19
da mattilgale
ho una soluzione bella bao di questa disuguaglianza
non è tostissima ma nemmeno facilissima
$ \displaystyle \sum_{\mbox{cyc}}\frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}\leq 1 $
con x,y,z reali positivi
Re: disuguaglianza caruccia
Inviato: 14 gen 2007, 14:36
da Boll
Non penso sia quella "bella bao" di Matti, cmq non è nemmeno brutta...
mattilgale ha scritto:
$ \displaystyle \sum_{\mbox{cyc}}\frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}\leq 1 $
con x,y,z reali positivi
Razionalizzando II liceo-style otteniamo
$ $ \sum \frac{x(\sqrt{(x+y)(x+z)}-x)}{xy+yz+zx}\le 1 $ ovvero la nuova tesi
$ $ \sqrt{x^2(x+y)(x+z)}+\sqrt{y^2(y+z)(y+x)}+\sqrt{z^2(z+x)(z+y)} $$ $ \le x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx $
Che è la somma delle tre Am-Gm cicliche del tipo
$ $ \frac{(x(x+y))+(x(x+z))}{2}\ge \sqrt{x^2(x+y)(x+z)} $
Inviato: 14 gen 2007, 15:57
da mattilgale
bleah!!!
cmq ho trovato una sol ancora più svelta e caruccia della mia, banalissima... e bellina bao al contrario di quella del piacentino qui sopra...
la posto in bianco
facendo Cauchy-Schwarz al denominatore delle 3 frazioni otenniamo
\sum_{cyc}(x/(x+\sqrt(xy)+\sqrt(xz))
che semplificando è
\sum_{cyc}(\sqrt x)/(\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z)=1