OliForum Matematico

Per ogni intero positivo n, poniamo
$ a_n=\frac 1n\left(\left[\frac n1\right]+\left[\frac n2\right]+\ldots+\left[\frac nn\right]\right) $
dove le parentesi quadre indicano la parte intera.

(a) dimostrare che esistono infiniti valori di n per cui $ a_{n+1}>a_n $
(b) dimostrare che esistono infiniti valori di n per cui $ a_{n+1}<a_n $

Buon lavoro, ciao! (lo so che siamo monotoni)
Enomis, Decan, Post233, Piever, Il_Russo

enomis_costa88 ha scritto: (a) dimostrare che esistono infiniti valori di n per cui $ a_{n+1}>a_n $
(b) dimostrare che esistono infiniti valori di n per cui $ a_{n+1}<a_n $
Buon lavoro, ciao! (lo so che siamo monotoni)

il gioco di parole... era involontario?

Allora, io ci provo.
m(n)=([n/1]+[n/2]+...+[n/n])
m(n+1)-m(n)=k dove k è il numero dei divisori di n+1 infatti ogni singola quadra sarà uguale per n e per n+1, tranne quando il denominatore|n+1, in quel caso la quadra di n+1 è maggiore di 1 della quadra di n. So che è una dimostrazione un po' empirica, ma credo sia giusta.
A questo punto a(n)=m(n)/n a(n+1)=(m(n)+k)/(n+1).
Dimostro la prima tesi.
(m(n)+k)/(n+1)>m(n)/n
nk>m(n)
Questa disuguaglianza è sempre vera per tutti i valori di n+1 che massimizzano il numero dei divisori fino a n+1, cioè quando ogni x<n+1 ha un numero di divisori inferiori a k, infatti m(n) è la somma dei numeri dei divisori di ogni x<n+1. Ora la seconda tesi.
nk<m(n) è verificato da n+1 primo e n>4, infatti diventa 2n<m(n) che è sempre vera per n>4.

Tutti i messaggi scritti dopo sono perchè non avevo disbilitato l'HTML, purtroppo ormai non posso più cancellarli.

Allora, clicca su "Disablita HTML nel messaggio" prima di postarlo e cancella tutti sti messaggi, lasciandone uno solo in cui scrivi il pezzo che manca.

Ho corretto il primo, ma non posso cancellare gli altri credo perchè ci sono già delle risposte. Comunque grazie a evariste e a SkZ

Li ho cancellati io.