OliForum Matematico

(i) Dimostrare che $ x^p-x-1 $ è irriducibile per $ p $ primo;
(ii) Dimostrare che $ x^n-x-1 $ è irriducibile per $ n $ qualsiasi.

good luck!!

Beh, per i primi è facile:
$ x^p-x-1\equiv x-x-1 \equiv -1 \bmod p $
Se ora $ x^p-x-1=f(x)g(x) $ con f,g monici e di grado minore di p, si avrà che $ -1\equiv \overline{f}(x)\cdot\overline{g}(x) \bmod p $. Ma allora f e g sono costanti (in generale, nei polinomi a coefficienti in un dominio di integrità gli invertibili coincidono con gli invertibili del dominio). Assurdo.

gli invertibili coincidono con gli invertibili nel dominio?? che vuol dire?

Sia A un dominio di integrità.
Se $ f(x),g(x)\in A[x] $ e $ f(x)g(x)=1 $ allora $ f(x)\equiv c $ e $ g(x)\equiv c^{-1} $ per qualche $ c\in A^* $
Ok, nel nostro caso A è un campo ... quindi A^* vuol dire "escluso lo zero".

Però ... ora che ci penso mi sa che questo vale per i polinomi formali, quindi non va bene ...

Ok. Ci riprovo. Sia $ L\supseteq\mathbb{Z}/_{p\mathbb{Z}} $ un'estensione di Z/pZ in cui $ x^p-x-1 $ abbia una radice t. Allora anche t+1, ..., t+p-1 saranno radici e saranno tutte. Consideriamo per assurdo la fattorizzazione $ x^p-x-1=f(x)g(x) $ se f(x)=a+bx(1+q(x)), allora b sarà la somma di un po' di queste radici, quindi sarà della forma b=mt+q dove $ m\in\mathbb{Z} $ e $ q\in \mathbb{Z}_{p\mathbb{Z}} $. Ma allora, poichè $ b\in \mathbb{Z}_{p\mathbb{Z}} $, anche $ t\in \mathbb{Z}_{p\mathbb{Z}} $.
Quindi, se è riducibile, ha almeno una radice; ma non ne ha (vale -1 per ogni x), quindi non è riducibile mod p, dunque nemmeno in Q.

alternativamente..
prendiamo la scomposizione in irriducibili $ f(x) := x^p-x-1 = f_1(x)..f_k(x) $ del polinomio..
osserviamo che se $ \alpha $ è una radice di $ f $, allora anche $ \alpha+1 $ lo è, e questo ci dice che i polinomi $ f_i $ sono traslati l'uno dell'altro, in particolare hanno lo stesso grado, che è $ 1 $ o $ p $. direi che il caso che il grado sia $ 1 $ si esclude abbastanza facilmente, quindi il polinomio è irriducibile..