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salve a tutti...sono nuovo del forum e avevo un dubbio sui differenziali che mi assilla...sul libro di testo che uso a scuola c'è scritto DEFINESCESI DIFFERENZIALE DELLA FUNZIONE f(x) NEL PUNTO x=c IL PRODOTTO DELLA DERIVATA DELLA FUNZIONE DEL PUNTO c (CIOè f'(c)) PER L'INCREMENTO DELLA VARIABILE X (CIOè deltax)...POI CONSIDERANDO LA FUNZIONE IDENTICA y=x SI HA dy=dx=deltax ESSENDO f'(x)=1...ora i miei dubbi sono i seguenti:
1) nella definizione di differenziale non ha importanza se nell'intervallo deltax la funzione f(x) è derivabile o meno
2) il fatto che dx=dy in y=x come si giustifica
3) il fatto che dy=dx=deltax in y=x vale anche quando abbiamo una y=f(x) diversa da y=x, o meglio dx=deltax anche con tutte le altre funzioni diverse da y=x
4) è giusta la definizione di differenziale che ho messo all'inizio
5) qual'è la definizione di dx; il prof ha detto che "dx=lim(per deltax tendente a 0) di deltax", ma se così è allora significa che dx=0 sempre perchè sempre indipendentemente dalla funzione "lim(per deltax tendente a 0) di deltax=0" essendo "lim(per x tendete a c) di x=c", e quindi dy è sempre 0
potete rispondere a tutti e 5 i quesiti
grazie a tutti e perdonatemi per la mia ignoranza

Il tuo prof non ha capito una fava, complimenti.
In genere questa è una delle domande che i professori glissano perché ne sanno meno degli studenti. Ma poiché un professore NON PUO' dire "non lo so", allora sparerà la risposta che per prima gli passa per la mente.

caspita, qui la cosa allora diventa grave... per favore rispondete

Io un libro che inizia una frase con "definescesi" non lo prenderei molto in considerazione. Comunque cerco di rispondere.

Il differenziale di f nel punto x è definito se e solo se f è derivabile in x. In tal caso chiama f'(x) la derivata. Il differenziale di f in x è l'applicazione da R in R che manda t in f'(x)t. Chiamiamo questa funzione df(x). Conoscere questa applicazione o conoscere la derivata di f è la stessa cosa, il che è la ragione per cui finché uno studia funzioni di una variabile introdurre i differenziali non serve a niente.

Quindi la risposta alla 4) è: no. Di conseguenza non hanno molto senso nemmeno le domande 1, 2 e 3.

I fisici tendono a pensare il differenziale come l'incremento infinitesimo della funzione nel punto x. Infatti prendi h molto piccolo. Allora f(x+h)-f(x) è molto vicino a f'(x)h. Se ci possiamo permettere di fare un'approssimazione (che sarà tanto più precisa quanto più h è piccolo), diciamo che $ f(x+h)-f(x) \sim f'(x)h $. Ripeto, non si ha l'uguaglianza, ma per h che tende a 0 il rapporto tra membro destro e sinistro tende a 1.

D'altra parte f'(x)h è il valore dell'applicazione df(x) (differenziale di f in x) nel punto h. Quindi abbiamo $ f(x+h)-f(x) \sim df(x) (h) $. I fisici impropriamente scrivono questa cosa dicendo che quando h è infinitesimo (il che non significa nulla, a meno che uno non entri nel'analisi non standard) si ha l'uguaglianza. In questo caso usano il simbolo dh per indicare che h è infinitesimo e arrivano all'uguaglianza $ f(x+dh)-f(x) = df(x) dh $

Spero che si sia capito qualcosa.
CIao

grazie a nonno bassotto abbiamo capito che l'argomento è molto più complicato dei quanto sembra e che non semprei libri la fanno giusta...qualche cosina si è capita...solo una domanda: per applicazione intendi funzione?...grazie
ovviamente se qualcuno ha altro da aggiungere lo faccia

Rispondo per Nonno_Bassotto, non credo che me ne vorrà.
Sì, applicazione è sinonimo di funzione.

ringrazio mindflyer per la delucidazione...continuate a rispondere