OliForum Matematico

salve.. mi sono imbattuto in un esercizio dei giochi della bocconi che recita:

-Trovare tre numeri primi tali che il loro prodotto sia uguale a sette volte la loro somma.

Ora, io ho proceduto così:

xyz=7(x+y+z) => xy=x+y+7
(Ho supposto che z=7 perchè xyz deve necessariamente essere divisibile per 7 visto che lo è il secondo membro dell'equazione).
ora da questa equazione (xy=x+y+7) devo procedere per tentativi (Cosa abbastanza semplice visto che i numeri sono 3 e 5)? Quale condizione posso porre per indicare che x e y sono primi?? ma non c'è nessuna condizione che identifichi due numeri come numeri primi... no?

La "difficoltà" di questo esercizio in pratica è fare i tentativi?
grazie per l'aiuto!!

dav44 ha scritto: La "difficoltà" di questo esercizio in pratica è fare i tentativi?
grazie per l'aiuto!!

Per gli esercizi della Bocconi succede abbastanza spesso che si debba andare a tentativi da un certo punto in poi... Se poi vuoi dimostrare che uno deve per forza essere 3 o 5 puoi farlo coi moduli (modulo 3 si fa prima) analizzando pochi casi, ma il numero 3 o il numero 5 li devi comunque trovare un po' "a caso".

molto semplicemente:
sappiamo che in $ ~x^2-bx+c=0 $ con soluzioni $ ~x_1,x_2 $ abbiamo $ ~b=x_1+x_2 $ e $ ~c=x_1x_2 $
noi abbiamo $ ~x_1x_2=x_1+x_2+7 $quindi $ ~x^2-bx+b+7=0 $
$ $x_{1,2}=(1/2)(-b\pm\sqrt{b^2+4b-28})$ $
essendo le due soluzioni due interi, dobbiamo avere $ ~b^2-4b-28=(b-2)^2-32=n^2 $ e $ ~n $ deve avere la stessa parita' di $ ~b $ e si ha $ ~x_1=\frac{b-n}{2}, x_2=\frac{b+n}{2} $
le uniche coppie $ ~(b,c) $ possibili sono
(8,2) $ ~\Rightarrow x_1=3, x_2=5 $ OK
(11,7) $ ~\Rightarrow x_1=2, x_2=9 $ NO

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