Rapporti esagonali
Inviato: 15 feb 2007, 20:51
Dato un esagono convesso ABCDEF con AB=BC, CD=DE, EF=FA, dimostrare che
$ \frac{BC}{BE}+\frac{DE}{DA}+\frac{FA}{FC}\ge \frac32 $
$ \frac{BC}{BE}+\frac{DE}{DA}+\frac{FA}{FC}\ge \frac32 $
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Rapporti esagonali
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Inviato: 15 feb 2007, 21:55
Già 4° quesito della gara a squadre dell'Unimi
Inviato: 15 feb 2007, 22:17
Ah, non ne avevo idea, la gara a squadre dell'Unimi neanche so cos'e' .
C'e' anche sul libro delle olimpiadi della matematica, io l'ho preso da li'.
.C'e' anche sul libro delle olimpiadi della matematica, io l'ho preso da li'.
100 messaggi :)
Inviato: 07 mar 2007, 18:21
Visto che nessuno lo caga, me la faccio e me la dico.
Chiamo $ d_1 $ la lunghezza di BE, $ l_1 $ la lunghezza di AB e BC e $ t_1 $ la lunghezza di AC. Stessa cosa con pedici 2 e 3 per i vertici D e F.
La tesi diventa $ \displaystyle \frac{l_1}{d_1}+\frac{l_2}{d_2}+\frac{l_3}{d_3} \ge \frac32 $.
Per la disuguaglianza di Tolomeo $ \displaystyle l_1t_2+l_1t_3 \ge t_1d_1 $, ovvero $ \displaystyle \frac{l_1}{d_1} \ge \frac{t_1}{t_2+t_3} $.
Siccome valgono anche le sue cicliche, la tesi risulta maggiore o uguale a $ \displaystyle \sum_{cyc}{\frac{t_1}{t_2+t_3}} $, che a sua volta per Nesbitt e' maggiore o uguale a $ \displaystyle\frac32 $.
Chiamo $ d_1 $ la lunghezza di BE, $ l_1 $ la lunghezza di AB e BC e $ t_1 $ la lunghezza di AC. Stessa cosa con pedici 2 e 3 per i vertici D e F.
La tesi diventa $ \displaystyle \frac{l_1}{d_1}+\frac{l_2}{d_2}+\frac{l_3}{d_3} \ge \frac32 $.
Per la disuguaglianza di Tolomeo $ \displaystyle l_1t_2+l_1t_3 \ge t_1d_1 $, ovvero $ \displaystyle \frac{l_1}{d_1} \ge \frac{t_1}{t_2+t_3} $.
Siccome valgono anche le sue cicliche, la tesi risulta maggiore o uguale a $ \displaystyle \sum_{cyc}{\frac{t_1}{t_2+t_3}} $, che a sua volta per Nesbitt e' maggiore o uguale a $ \displaystyle\frac32 $.