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Indicato con $ $\langle a \rangle$ $ il sottogruppo ciclico generato da un elemento $ $a$ $, e indicato con $ $1$ $ l'elemento neutro,

sia $ $G$ $ un gruppo nel quale l'intersezione di tutti i sottogruppi diversi da $ $\langle 1 \rangle$ $ è un sottogruppo diverso da $ $\langle 1 \rangle$ $. Dimostrare che ogni elemento di $ $G$ $ ha ordine finito.

È carino (a mio avviso), preso dall'Herstein, "Topics in Algebra" o in italiano semplicemente "Algebra".

Sia $ t \neq 1 $ appartenente all'intersezione di tutti i sottogruppi diversi da $ \langle 1 \rangle $ di $ G $. In particolare $ t $ appartiene a tutti i sottogruppi generati dagli elementi di $ G $. Sia quindi $ a $ un generico elemento di $ G $,sappiamo allora che esiste almeno un $ k\in N $ tale che $ a^k=t $.
Ammettiamo ora che $ a $ abbia ordine infinito,questo allora vuol dire che esiste ed è unico un $ k $ tale che $ a^k=t $.
Mostriamo che questo porta ad un assurdo.
Consideriamo infatti $ H=\langle a^{(k+1)}\rangle=\{a^{h(k+1)},h\in N\} $
Poichè $ k $ è l'unico numero per cui si ha $ a^k=t $, si ha che $ t\not\in H $,assurdo poichè $ t $ appartiene ad ogni sottogruppo di $ G $