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$ a) $ Sia $ G $ un gruppo finito e $ p $ un numero primo che divide l'ordine di $ G $. Se $ H $ è un $ p- $sottogruppo normale di $ G $, dimostrare che $ H $ è contenuto in ogni $ p- $sottogruppo di Sylow di $ G $.

$ b) $ Sia $ G $ un sottogruppo semplice (privo di sottogruppi normali propri) di ordine $ 168 $. Stabilire quanti $ 7- $sottogruppi di Sylow e quanti elementi di ordine $ 7 $ ha $ G $.

$ c) $ Se $ P $ è un $ 7- $sottogruppo di Sylow di $ G $, dimostrare che $ N_G(P) $, il normalizzante di $ P $ in $ G $, ha ordine $ 21 $.

a) Falso, a meno che non intendi che $ $H$ $ abbia ordine $ $p^n$ $. In questo caso, $ H $ è contenuto in un $ $p$ $-sottogruppo di Sylow $ $A$ $. Poiché per ogni altro $ $p$ $-sottogruppo di Sylow $ $B$ $ abbiamo che esiste $ $g\in G$ $ tale che $ $B=gAg^{-1}$ $, allora $ $H=gHg^{-1}\subseteq B$ $.

c) Abbiamo $ $168=2^3*3*7$ $ e poiche' $ $7$ $ divide $ $\frac{|G|}{|N_G(P)|}-1$ $, necessariamente $ $|N_G(P)|=7*3=21$ $.

b) Da c segue che i $ 7 $-Sylow sono $ 8 $ e poiche' l'intersezione fra due distinti $ 7 $ -Sylow e' $ $\{1\}$ $ gli elementi di ordine $ 7 $ sono $ $6*8=48$ $.

fields ha scritto:a) Falso, a meno che non intendi che $ $H$ $ abbia ordine $ $p^n$ $. In questo caso, $ H $ è contenuto in un $ $p$ $-sottogruppo di Sylow $ $A$ $. Poiché per ogni altro $ $p$ $-sottogruppo di Sylow $ $B$ $ abbiamo che esiste $ $g\in G$ $ tale che $ $B=gAg^{-1}$ $, allora $ $H=gHg^{-1}\subseteq B$ $.

si scusami mi ero dimenticato $ p- $ sottogruppo!
ho modificato il testo.

ah, cmq il punto (b) si può fare senza ricorrere al punto (c)... infatti (a) e (b) li ho fatti mentre il punto (c) non proprio...

Allora su (a) siamo daccordo, il mio $ (b) $:

$ n_7 | 2^3 \cdot 3 $ e $ n_7 \equiv 1 $ mod $ 7 $ quindi $ n_7 = 1 $ o $ n_7 = 8 $, ma $ G $ non ha sottogruppi normali per ipotesi quindi $ n_7 = 8 $.

Invece sul punto $ (c) $ ti chiedo:

perchè $ \displaystyle 7 | \frac{|G|}{|N_G(P)|} - 1 $

uhm... ma ti sono chiari i teoremi di Sylow?

Per i suddetti teoremi $ $n_7=\frac{|G|}{|N_G(P)|}$ $, e dunque e' chiaro che i nostri argomenti sono uguali e che il punto c) e' immediato...

si, è proprio il terzo Th. di Sylow...
adesso ho capito!