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Da un orale non-standard di analisi:

Dimostrare che l'insieme dei punti di discontinuità di una funzione da R in R debolmente crescente è al più numerabile.

Determinare una funzione da R in R debolmente crescente e continua solo negli irrazionali.

sqrt2 ha scritto:
Determinare una funzione da R in R debolmente crescente e continua solo negli irrazionali.

$ \displaystyle f(x) = 1 $, $ \forall x \in \mathbb{R} - \mathbb{Q} $;

$ \displaystyle f(x) = 0 $, $ \forall x \in \mathbb{Q} $.

ma che vuol dire debolmente crescente?

@Gauss: la tua non è crescente:
$ \pi \lessdot 4 $, ma $ f(\pi) \gtrdot f(4) $.

@SkZ: Se $ x<y $ allora $ f(x) \leqslant f(y) $. E' la monotonia non stretta.

EDIT: l'interprete LaTeX dà un po' fuori di matto. Sono costretto ad usare $ \lessdot $ e $ \gtrdot $ al posto di minore e maggiore. Qualcuno sa perché faccia così?

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Puoi costruire una funzione iniettiva dai punti di discontinuità ai razionali nel seguente modo:
Sia $ \scriptscriptstyle x_0 $ un punto qualsiasi. Per la monotonia puoi dire che

$ \scriptscriptstyle \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \sup_{x < x_0} f(x) $

e analogamente il limite destro. In particolare entrambi i limiti esistono finiti.

Il p.to $ \scriptscriptstyle x_0 $ è di d.ct.tà sse il limite sinistro è minore stretto del limite destro. Considero l'intervallo compreso tra il limite sinistro e il limite destro (estremi esclusi). Esso contiene almeno un razionale, che chiamo $ \scriptscriptstyle g(x_0) $.

$ \scriptscriptstyle g $ è funzione dai p.ti di d.ct.tà ai razionali, con la proprietà che

$ \scriptscriptstyle \sup_{x \lessdot x_0} f(x) \lessdot g(x_0) \lessdot inf_ \gtrdot x_0} f(x) $.

L'iniettività è banale dalla monotonia: se fosse $ \scriptscriptstyle g(x_0) = g(x_1) $, con $ \scriptscriptstyle x_0 < x_1 $, entrambi p.ti di d.ct.tà, allora necessariamente
$ \scriptscriptstyle g(x_0) \lessdot \inf_{x \gtrdot x_0} f(x) \leqslant \sup_{x \lessdot x_1} f(x) \lessdot g(x_1) $. Assurdo.

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Per il secondo punto, l'ho fatta con una numerazione dei razionali
$ \scriptscriptstyle q: \mathbf N \to \mathbf Q $ funzione bigettiva.

Definisco $ \scriptscriptstyle h:\mathcal P(\mathbf N) \to \mathbf R $ come $ \scriptscriptstyle g(A) := \sum_{i \in A} 3^{-i} $.

Essa è una funzione ben definita (in quanto la serie è convergente), strettamente crescente (rispetto all'inclusione), limitata. Inoltre è iniettiva, per la rappresentazione in base 3 dei numeri reali.

Sia allora $ \scriptscriptstyle h: \mathbf R \to \mathbf R $ data da
$ \scriptscriptstyle h(x) = g(\{ i \in \mathbf N : q(i) < x \}) $. Dico che questa funzione va bene.

E' crescente (segue dalla monotonia di $ \scriptscriptstyle g $ rispetto all'inclusione) [anzi è addirittura strettamente crescente].

Per provare la [dis]ct.tà, basta osservare la seguente interpretazione del limite destro e sinistro:

$ \scriptscriptstyle \sup_{x \lessdot x_0} h(x) = g \left( \bigcup_{x \lessdot x_0} \{ i \in \mathbf N : q(i) \lessdot x \} \right) $
$ \scriptscriptstyle \inf_{x \gtrdot x_0} h(x) = g \left( \bigcap_{x \gtrdot x_0} \{ i \in \mathbf N : q(i) \lessdot x \} \right) $
[seguono dalla monotonia rispetto all'inclusione].

Ma allora negli irrazionali è continua [basta far vedere che l'unione e l'intersezione coincidono], mentre nei razionali è discontinua. [l'unione non contiene $ \scriptscriptstyle q^{-1}(x_0) $, mentre l'intersezione sì].

a Gauss87: non mi sono spiegato bene, la funzione cercata deve essere debolmente crescente in tutto R e continua solo negli irrazionali. La funzione di Dirichlet è debolmente crescente solo negli irrazionali (o nei razionali), ma non in tutto R.

sqrt2 ha scritto:Da un orale non-standard di analisi:

Dimostrare che l'insieme dei punti di discontinuità di una funzione da R in R debolmente crescente è al più numerabile.

Determinare una funzione da R in R debolmente crescente e continua solo negli irrazionali.

ma scusa tu non hai detto che deve essere crescente su tutto R...

forse non ci siamo capiti...

Gauss ... se si dice funzione da R in R crescente (o decrescente), di solito si intende una funzione che sia tale su tutto R cioè tale che per ogni x,y ordinati in un qualche modo, f(x) e f(y) siano ugualmente ordinati (o contrariamente). La tua non solo non è crescente su alcun intervallo, ma non è neppure continua negli irrazionali; anche qui, attenzione: una funzione da R in R è continua su un sottoinsieme E di R se è continua in ogni punto di E, non se la sua restrizione ad E è continua. La prima implica la seconda ma non viceversa.

@Gauss: Interpretala così:

sqrt2 ha scritto:Determinare una funzione (da R in R debolmente crescente) e (continua solo negli irrazionali).

sqrt2 ha scritto:
Dimostrare che l'insieme dei punti di discontinuità di una funzione da R in R debolmente crescente è al più numerabile.

E' chiaro che tutte le discontinuità dovranno essere di prima specie, altrimenti cadrebbe l'ipotesi di crescenza. Ora i punti di discontinuità sono in bigezione coi salti, all'interno di ogni salto, essendo i razionali densi sulle y, c'è certamente un numero razionale, ergo i salti sono numerabili, ergo i punti di discontinuità.

Rilancio:

Determinare una funzione da R in R continua solo nei trascendenti e
- debolmente crescente (facile grazie a Marco)
- non debolmente crescente

A questo punto facciamo l'ultimo rilancio: dato un qualsiasi $ S\subseteq \mathbb{R} $ che sia un $ F_\sigma $ dimostrare che esiste una funzione che è discontinua solo sui punti di $ S $. Per chi vuole dimostrare anche il viceversa.

Wow, io sapevo il viceversa, e mi chiedevo se per ogni $ \, F_{\sigma} \, $ si potesse costruire una funzione che avesse quelle discontinuità. Non ci ho mai pensato seriamente però, perché pensavo fosse falso. Ora provo

@Marco: non credo sia l'interprete LateX, ma piuttosto phpbb, che interpreta *minore* "testo" *maggiore* come "testo" racchiuso dentro qualche tag...

Ok adesso scrivo un po' di stupidate... Non so se alla fine posterò qualcosa, dipende se concluderò qualcosa
Sappiamo che $ ~S=\cup_{n=1}^\infty F_n $ con $ ~F_n $ chiuso per ogni $ ~n $.
Io ho provato a fare una roba del genere... L'unica funzione onesta che mi veniva in mente che fosse discontinua massicciamente era Dirichlet. Ma questa non va bene (fosse altro perchè è definita su tutto $ ~\mathbb{R} $).
Putroppo non va bene nemmeno la sua restrizione ad $ ~S $ (nel senso che la moltiplico l'indicatrice di $ ~S $).
Quello che voglio fare è mimare Dirichlet su ogni $ ~F_n $ e fare anche in modo che la sovrapposizione di questi non mi renda la funzione continua.
Quindi il valore che ha sui razionali e sugli irrazionali deve in qualche modo essere influenzato dal chiuso in cui si trovano.
In più, poichè vorrei farla valere un valore costante (diciamo $ ~0 $) al di fuori di $ ~S $ vorrei evitarmi problemi stupidi e quindi non farla valere mai $ ~0 $ su $ ~S $, anzi vorrei tenermici lontano...
La cosa migliore è tenere il tutto più sparpagliato possibile. Quindi preso un chiuso $ ~F_n $ definiamo la funzione $ ~f_n: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ come:
$ ~f_n(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{n} & \textrm{se $~x$ è razionale}\\ -\frac{1}{n} & \textrm{se $~x$ è irrazionale}\\ 0 & \textrm{se $~x \not \in F_n$} \end{array} \right. $
Ovviamente questa roba non è continua su $ ~F_n $ per densità (e solamente lì). Infatti se $ ~x \in F_n $ è razionale (irrazionale), se non è isolato (nella topologia indotta $ ~F_n $) ogni intorno contiene un irrazionale (razionale). Se $ ~x $ è isolato, banalmente la funzione è discontinua.
Dove ho usato il fatto che $ ~F_n $ fosse chiuso? Non l'ho usato... Però mi serve adesso per dire che non è discontinua altrove. Infatti ovviamente è continua sui punti appartenti alla parte interna di $ ~{F_n}^c $. Ma se $ ~F_n $ è chiuso il suo complementare è aperto e coincide quindi con la sua parte interna.
Ok fatto tutto questo schifo, rimonto insieme tutto. Rimonto come? Devo stare attento perchè un elemento può stare in chiusi diversi. In tal caso mi toccherà sceglierne uno! Come? In teoria pure a caso, però dato che una funzione di scelta cel'ho pronta (il minimo) la uso!
La funzione che cerco (forse sarebbe meglio dire una delle funzioni che mi vanno bene) dovrebbe quindi essere:
$ ~f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} f_n(x) & \textrm{se $~n$ è il più piccolo naturale t.c. $~x \in F_n$}\\ 0 & \textrm{se $x \not \in S$} \end{array} \right. $
E questo dovrebbe funzionare!
Sperem... Un po' di make up e lo posto.

P.S.: Ovviamente ho risposto solamente perchè non vi dimentichiate dei nanetti... Adesso vado a lavarmi le mani che con questa analisi me le sento un pochino sporche

Edit: mi sono finalmente ricordato di sostituire $ ~n $ con $ ~\frac{1}{n} $ come giustamente osservato da NonnoBassotto

Uhm, temo che non sia necessariamente continua fuori da S. Ad esempio prendi
$ \, F_n = [1/n,1] \, $. La funzione che ottieni è discontinua in 0, che non è un punto di S. Però se cambi n in 1/n direi che funziona.

Uff... è vero!
Però con 1/n dovrebbe andare... in effetti non avevo pensato che ci potevano essere dei problemi ad allontanarsi troppo dallo 0...