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Visto che si stava parlando di chiusi, propongo questo esercizio abbastanza carino.

Determinare $ A\subset\mathbb{R}^n $ e $ B\subset{A} $, con $ A\not=\mathbb{R}^n $, $ B\not=A $, e $ A,B\not=\emptyset $ in modo che $ B $ sia contemporaneamente aperto e chiuso in $ A $.

Un po' di definizioni:
$ B\subset{A} $ si dice chiuso [rispettivamente aperto] in $ A $ se esiste $ C $ chiuso [aperto] di $ \mathbb{R}^n $ tale che $ C\cap A=B $.

E' un esercizio un po' teorico, ma è carino, a me è piaciuto particolarmente.
Buon lavoro

A= due punti distinti a caso in R^n
B=uno a caso di quei 2 punti

Ok talpuz va benissimo!
Io avevo considerato come A l'unione di due sfere disgiunte di $ \mathbb{R}^n $ e come B una delle due sfere. La soluzione è analoga.

Dimostrare che non esistono A e B siffatti se A e' connesso.

La tesi originale chiede di trovare due insiemi che sconnettono A

Se ci fosse un sottoinsieme chiuso e aperto,il suo complementare rispetto ad A sarebbe anch'esso chiuso e aperto,quindi questi due sottoinsiemi sconnettono A.