Insiemi connessi in R
Inviato: 26 feb 2007, 14:22
Dimostrare che gli unici sottoinsiemi di R connessi sono gli intervalli.
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Insiemi connessi in R
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Inviato: 27 feb 2007, 22:21
Beh, visto che la connessione si fa per archi continui, e $ $ \mathbb R $ $ è unidimensionale, tali archi non possono che essere dei segmenti i cui estremi delimitano degli intervalli. Mi sembra abbastanza (forse troppo) banale sottolineare che punti o gruppi di punti isolati tra loro - definiti come dominio - non possono essere connessi, perché non esiste modo di unirli (connetterli) con un arco (segmento) che appartenga tutto e solo all'insieme dominio: tale segmento, forzatamente, dovrà passare per i punti intermedi tra i vari gruppi di punti, e quindi addio connessione.
Inviato: 28 feb 2007, 09:32
Connesso != connesso per archi...
(almeno finché non hai dimostrato che per $ \mathbb R^n $ sono equivalenti...)
(almeno finché non hai dimostrato che per $ \mathbb R^n $ sono equivalenti...)
Inviato: 28 feb 2007, 19:05
Allora come lo connetto?fph ha scritto:Connesso != connesso per archi...
(almeno finché non hai dimostrato che per $ \mathbb R^n $ sono equivalenti...)
Inviato: 28 feb 2007, 21:11
Definizione di "connesso" e qualche esempio qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_connesso
http://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_connesso
Inviato: 28 feb 2007, 21:19
Ehm... avevo già guardato senza brillanti deduzioni. Posso avere un aiutino?
Inviato: 28 feb 2007, 23:14
uhm,la vedo difficilefph ha scritto:Connesso != connesso per archi...
(almeno finché non hai dimostrato che per $ \mathbb R^n $ sono equivalenti...)
già per $ \mathbb R^2 $ non è falso?Inviato: 01 mar 2007, 08:57
In verità il controesempio si costruisce già in $ \mathbf R^2 $.fph ha scritto:Connesso != connesso per archi...
(almeno finché non hai dimostrato che per $ \mathbb R^n $ sono equivalenti...)
Inviato: 01 mar 2007, 10:11
Ok, scusate, per un /aperto/ di R^n dovrebbero essere equivalenti. (in ogni caso, volendo giocare a fare il logico, strictly speaking, per R^n sono equivalenti: R^n è connesso se e solo se è connesso per archi 
)
)Inviato: 11 mar 2007, 22:01
Dunque... vediamo un po' se mi ricordo quanto visto ad Analisi2!
Innanzitutto scriviamo una definizione di insieme connesso:
$ A\subseteq\mathbb{R}^n $ è connesso $ \displaystyle \Leftrightarrow $ $ \forall G1,G2 $ aperti di $ \mathbb{R}^n $ tali che $ A\subseteq G1\cup G2 $, $ \displaystyle A\cap G1\cap G2=\emptyset $ $ \displaystyle \Rightarrow $ $ A\subseteq G1 $ e/o $ A\subseteq G2 $.
Ora devo dimostrare che: dato $ I\subseteq \mathbb{R} $
$ I $ è connesso $ \Leftrightarrow $ $ I $ è un intervallo.
"$ \Leftarrow $" Siccome un intervallo di $ \mathbb{R} $ è un insieme convesso (poichè presi due punti qualsiasi nell'intervallo, il segmento che li congiunge è tutto contenuto nell'intervallo, per la definizione stessa di intervallo) è anche connesso.
"$ \Rightarrow $" Supponiamo per assurdo che $ I $ non sia un intervallo. Questo vuol dire che $ \exists x_1,x_2\in I $ e $ \exists x_0\not\in I $ tali che $ x_1<x_0<x_2 $. Ora considero i seguenti due insiemi aperti di $ \mathbb{R} $: $ G1=(-\infty,x_0) $ e $ G2=(x_0,+\infty) $.
- $ I\subseteq G1\cup G2 $ perchè l'unione di $ G1 $ e $ G2 $ è tutto $ \mathbb{R} $ meno il solo punto $ x_0 $, che non appartiene ad $ I $.
- $ G1\cap G2\cap I=\emptyset $, perchè $ G1 $ e $ G2 $ disgiunti
ma $ I\not\subseteq G1 $ e $ I\not\subseteq G2 $ perchè $ x_1\in I $, ma $ x_1\not\in G2 $ e $ x_2\in I $, ma $ x_2\not\in G1 $, e questo è assurdo perchè contrasta con la definizione di connesso esposta sopra. Quindi $ I $ è un intervallo!
Innanzitutto scriviamo una definizione di insieme connesso:
$ A\subseteq\mathbb{R}^n $ è connesso $ \displaystyle \Leftrightarrow $ $ \forall G1,G2 $ aperti di $ \mathbb{R}^n $ tali che $ A\subseteq G1\cup G2 $, $ \displaystyle A\cap G1\cap G2=\emptyset $ $ \displaystyle \Rightarrow $ $ A\subseteq G1 $ e/o $ A\subseteq G2 $.
Ora devo dimostrare che: dato $ I\subseteq \mathbb{R} $
$ I $ è connesso $ \Leftrightarrow $ $ I $ è un intervallo.
"$ \Leftarrow $" Siccome un intervallo di $ \mathbb{R} $ è un insieme convesso (poichè presi due punti qualsiasi nell'intervallo, il segmento che li congiunge è tutto contenuto nell'intervallo, per la definizione stessa di intervallo) è anche connesso.
"$ \Rightarrow $" Supponiamo per assurdo che $ I $ non sia un intervallo. Questo vuol dire che $ \exists x_1,x_2\in I $ e $ \exists x_0\not\in I $ tali che $ x_1<x_0<x_2 $. Ora considero i seguenti due insiemi aperti di $ \mathbb{R} $: $ G1=(-\infty,x_0) $ e $ G2=(x_0,+\infty) $.
- $ I\subseteq G1\cup G2 $ perchè l'unione di $ G1 $ e $ G2 $ è tutto $ \mathbb{R} $ meno il solo punto $ x_0 $, che non appartiene ad $ I $.
- $ G1\cap G2\cap I=\emptyset $, perchè $ G1 $ e $ G2 $ disgiunti
ma $ I\not\subseteq G1 $ e $ I\not\subseteq G2 $ perchè $ x_1\in I $, ma $ x_1\not\in G2 $ e $ x_2\in I $, ma $ x_2\not\in G1 $, e questo è assurdo perchè contrasta con la definizione di connesso esposta sopra. Quindi $ I $ è un intervallo!