Pentagoni razionalizzanti
Inviato: 26 feb 2007, 19:21
$ ABCDE $ è un pentagono equiangolo con tutti i lati razionali. Provare che è equilatero.
UP!
Dai gente, non è difficile!
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Pentagoni razionalizzanti
Pagina 1 di 1
Inviato: 08 mar 2007, 16:26
Inviato: 08 mar 2007, 17:29
Consideriamo un pentagono equiangolo e supponiamo che i lati siano distinti. Allora - dimostreremo - almeno uno di essi ha lunghezza irrazionale.
Costruiamo dentro un siffatto pentagono, un pentagono regolare che abbia in comune col primo il lato più corto.
Dunque, ora assumiamo che almeno i lati diversi da DE siano razionali.
Allora, in figura, x e y sono razionali (differenza di numeri razionali).
Ora, l'angolo in P misura 36°.
Otteniamo la misura di DE da questa proporzione:
$ l:DE=\frac{l}{2\sin18°}:(\frac{l}{2\sin18°}-y) $ essendo l=AB+x razionale,
si ricava $ DE=l-\sin 18°y $, che è irrazionale
Costruiamo dentro un siffatto pentagono, un pentagono regolare che abbia in comune col primo il lato più corto.
Dunque, ora assumiamo che almeno i lati diversi da DE siano razionali.
Allora, in figura, x e y sono razionali (differenza di numeri razionali).
Ora, l'angolo in P misura 36°.
Otteniamo la misura di DE da questa proporzione:
$ l:DE=\frac{l}{2\sin18°}:(\frac{l}{2\sin18°}-y) $ essendo l=AB+x razionale,
si ricava $ DE=l-\sin 18°y $, che è irrazionale
Inviato: 09 mar 2007, 13:40
Wow, bella soluzione!
C'è anche un corollario:
Se giriamo il pentagono in modo che un lato sia parallelo all'asse x e mettiamo l'origine su uno degli estremi di questo lato, i lati di un triangolo sono vettori con somma 0. Inoltre, essendo il poligono equiangolo, possiamo dire di più: se li vediamo come numeri complessi, il loro argomento è un multiplo di una radice primitiva quinta dell'unità. Insomma, abbiamo:
$ ~ a_4 \omega^4 + a_3 \omega^3 + a_2 \omega^2 + a_1 \omega + a_0 = 0, \quad \omega = e^{\frac{2\pi i}5} $.
Cioè, che w è la radice di un polinomio di grado 4 a coefficienti razionali. Il problema dice che questo polinomio è uno (a meno del coefficiente direttivo) e ha coefficienti tutti 1. Quindi w non è radice di nessun polinomio a coefficienti razionali di grado 3.
$ ~ e^{\frac{2\pi i}5} $ è un intero algebrico di grado 4
e scuate se ho scritto cazzate
C'è anche un corollario:
Se giriamo il pentagono in modo che un lato sia parallelo all'asse x e mettiamo l'origine su uno degli estremi di questo lato, i lati di un triangolo sono vettori con somma 0. Inoltre, essendo il poligono equiangolo, possiamo dire di più: se li vediamo come numeri complessi, il loro argomento è un multiplo di una radice primitiva quinta dell'unità. Insomma, abbiamo:
$ ~ a_4 \omega^4 + a_3 \omega^3 + a_2 \omega^2 + a_1 \omega + a_0 = 0, \quad \omega = e^{\frac{2\pi i}5} $.
Cioè, che w è la radice di un polinomio di grado 4 a coefficienti razionali. Il problema dice che questo polinomio è uno (a meno del coefficiente direttivo) e ha coefficienti tutti 1. Quindi w non è radice di nessun polinomio a coefficienti razionali di grado 3.
$ ~ e^{\frac{2\pi i}5} $ è un intero algebrico di grado 4
e scuate se ho scritto cazzate
Inviato: 11 mar 2007, 19:21
Bella soluzione pic
La mia era leggermente diversa..
Chiamavo T e S le intersezioni dei lati CD e DE con la retta AB, e imponevo il fatto che il triangolo DTS fosse isoscele..
La mia era leggermente diversa..
Chiamavo T e S le intersezioni dei lati CD e DE con la retta AB, e imponevo il fatto che il triangolo DTS fosse isoscele..
Inviato: 09 apr 2007, 14:17
Generalizzazione (che secondo mathlinks viene da China TST 2007):
Dimostrare che un numero p è (indovinate?) primo se e soltanto se ogni p-agono equiangolare con i lati di lunghezza razionale è regolare.
Dimostrare che un numero p è (indovinate?) primo se e soltanto se ogni p-agono equiangolare con i lati di lunghezza razionale è regolare.
Inviato: 13 apr 2007, 15:03
Edriv.. giusto per sapere.. tu la sai dimostrare questa generalizzazione?
Inviato: 13 apr 2007, 15:29
Sì, è una conseguenza un po' del mio approcio che ho scritto prima.
Eppoi mi piace un problema di geometria che si risolve con Eisenstein
(ecco l'hint)
Eppoi mi piace un problema di geometria che si risolve con Eisenstein
(ecco l'hint)