Disuguaglianza integrale

[Simo_the_wolf]

Dimostrare che, data $ f(x) \in C^0 [-1,1 ] $:

$ \displaystyle 2 \int _{-1}^1 f(x)^2 dx \geq \left( \int _{-1}^1 f(x) dx \right) ^2 + 3 \left( \int _{-1}^1 xf(x) dx \right) ^2 $

[Nonno Bassotto]

Scrivo f = a + b, con a pari e b dispari. Questo è sempre possibile (in modo unico), ponendo $ a (x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} $

Usando il fatto che ab è dispari e che l'integrale di una funzione dispari su [-1,1] è nullo, la tesi diventa
$ 2\left( \int_{-1}^{1} a^2 + \int_{-1}^{1} b^2 \right) \geq \left( \int_{-1}^{1} a \right)^2 + 3 \left( \int_{-1}^{1} x b(x) \right)^2 $

Dimostro separatamente che
$ 2\left( \int_{-1}^{1} a^2 \right) \geq \left( \int_{-1}^{1} a \right)^2 $
e che
$ 2\left(\int_{-1}^{1} b^2 \right) \geq 3 \left( \int_{-1}^{1} x b(x) \right)^2 $

La prima disuguaglianza è Cauchy-Schwartz applicata alle funzioni a e 1 (la funzione costante). La seconda è Cauchy-Schwartz applicata alle funzioni b e x.