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Dato il triangolo $ ABC $, $ D $ e' il piede della perpendicolare da $ A $. Due punti $ E $ ed $ F $ sono tali che appartengono rispettivamente ai circocerchi di $ ABD $ e $ ACD $; inoltre si ha che $ E $, $ D $ ed $ F $ sono allineati. Detti $ M $ e $ N $ rispettivamente i punti medi dei segmenti $ BC $ e $ EF $, dimostrare che $ AN $ e' perpendicolare a $ NM $.

ps: non e' difficile e c'e' una soluzione bella:)

Allora.. poichè \angle AFD=\angle ACD e \angle AED=\angle ABD i triangoli ABC e AEF sono rotomotetici. Quindi \angle MAN = \angle BAE. Inoltre AN/AM=AE/AB=cos \angle BAE = cos \angle MAN. Quindi ANM è retto

EDIT: sorry, un piccolo errore di copiatura..

Generalizzazione:

Due circonferenze si intersecano in A e B.
Una retta r, passante per A, interseca la prima circonferenza in X e la seconda in Y.
Determinare il luogo dei punti medi di XY al variare di r nel fascio di rette per A.

A sisifo: perchè $ \displaystyle \angle MAN = \angle BAD $? Io direi $ \displaystyle \angle MAN = \angle CAF = \angle BAE $, in particolare $ \displaystyle \angle MAN = \angle CAF = \angle CDF = \angle MDF = \angle MDN $ (usando angoli orientati), quindi ADMN è ciclico da cui la tesi.

uppino... dai, leggete la soluzione di sisifo, riscrivetela, e fate sta benedetta generalizzatione!